Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)

Đề bài:

Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)

Bài giải:

\( x^{2}+x=m|2x-2|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x^{2}+x = 2mx-2m, x\geq 1 \\ x^{2}+x = -2mx+2m, x+/ phương trình \( x^{2}-\left(2m-1\right)x+2m=0\) có $\Delta = 4m^{2}-4m+1-8m=4m^{2}-12m+1$

Với $\Delta >0\Leftrightarrow  m\frac{3}{2}+\sqrt{2}$, phương trình có hai nghiệm

\( x_{1}=\frac{\left(2m-1\right)-\sqrt{4m^{2}-12m+1}}{2}, x_{2}=\frac{\left(2m-1\right)+\sqrt{4m^{2}-12m+1}}{2}\)
 Cần \( \frac{\left(2m-1\right)-\sqrt{4m^{2}-12m+1}}{2}\geq 1 \Leftrightarrow \left(2m-1\right)-\sqrt{4m^{2}-12m+1}\geq 2\)
\(\Leftrightarrow 2m-3 \geq \sqrt{4m^{2}-12m+1}\Leftrightarrow \begin{cases}x >\frac{3}{2}\\ 4m^{2}-12m+9\geq 4m^{2}-12m+1 \end{cases} \Leftrightarrow m\geq \frac{3}{2} \)
phối hợp với \( \Delta>0 (1)\)
+/ phương trình \( x^{2}+\left(2m-1\right)x-2m=0\) có $\Delta = 4m^{2}+4m+1+8m=4m^{2}+12m+1$

Với  $\Delta >0 \Leftrightarrow  m\frac{-3}{2}+\sqrt{2}$, phương trình có hai nghiệm

\( x_{3}=\frac{-\left(2m+1\right)-\sqrt{4m^{2}+12m+1}}{2}, x_{4}=\frac{-\left(2m+1\right)+\sqrt{4m^{2}+12m+1}}{2}\)

 
Cần \( \frac{-\left(2m+1\right)+ \sqrt{4m^{2}+12m+1}}{2}\leq
1 \Leftrightarrow -\left(2m-1\right)+\sqrt{4m^{2}-12m+1}\leq
2\)
\(\Leftrightarrow 2m+3 \geq \sqrt{4m^{2}+12m+1}\)
\(\Leftrightarrow
\begin{cases}x >\frac{-3}{2}\\ 4m^{2}+12m+1 \leq 4m^{2}+12m+9
\end{cases} m>m>\frac{-3}{2}\)
phối hợp với \( \Delta>0 (2)\)
\( \frac{\left(2m-1\right) \pm \sqrt{4m^{2}-12m+1}}{2} \neq \frac{-\left(2m+1\right) \pm \sqrt{4m^{2}+12m+1}}{2}\)
 \( 4m \pm \sqrt{4m^{2}-12m+1} \neq \sqrt{4m^{2}+12m+1}\)
 \( 16m^{2}+4m^{2}-12m+1 \pm 8m\sqrt{4m^{2}-12m+1} \neq 4m^{2}+12m+1\)
 \(16m^{2} -24m \neq 8m\sqrt{4m^{2}-12m+1}\)
 \( 2m^{2}-3m \neq \pm \sqrt{4m^{2}-12m+1}\)
\( 4m^{4}+9m^{2}-12m^{3} \neq 9m^{4}-12m^{3}+m^{2}\)
 \( m\neq 0 (3)\)
 Hợp \( (1), (2), \) giao với \((3)\) được \(m>\frac{-3}{2}+\sqrt{2}\) và \(m\neq 0\)