Định $m$ khác $0$ để phương trình  $ x^2 – x + 3m = 0 $  (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần 1 nghiệm của phương trình  $ x^2 – x + m = 0 $    (2)

Đề bài:

Định $m$ khác $0$ để phương trình  $ x^2 – x + 3m = 0 $  (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần 1 nghiệm của phương trình  $ x^2 – x + m = 0 $    (2)

Bài giải:

Gọi  $ {x_1} $  là một nghiệm của (2) $  \Rightarrow  $ (1)  có một nghiệm là 2 $ {x_1} $
Do đó ta có hệ :
$ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
4{x_1}^2 – 2{x_1} + 3m = 0\\
{x_1}^2 – {x_1} + m = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x_1}^2 – 2{x_1} + 3m – 3\left( {{x_1}^2 – {x_1} + m} \right) = 0\\
m =  – {x_1}^2 + {x_1}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}^2 + {x_1} = 0\\
m =  – {x_1}^2 + {x_1}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 0 \vee {x_1} =  – 1\\
m =  – {x_1}^2 + {x_1}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 0\\
m = 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} =  – 1\\
m =  – 2
\end{array} \right.
\end{array} $
Giá trị  $ m \ne 0 $ thỏa yêu cầu của bài toán là : $ m =  – 2 $

Điều kiện đủ: Khi m = -2
(1) Có 2 nghiệm là -2 và 3
(2) Có 2 nghiệm là -1 và 2
Ngiệm -2 gấp hai lần nghiệm -1.
Vậy: $m = -2 .$