Đề bài:
Giả sử $a \ge b > 0$ và $a + b = 1$1) Chứng minh $a^m – a^n \ge b^n – b^m > 0$ Với $m,n \in Z^ + $ và $m < n$2) Chứng minh tam thức $f(x) = x^2 - b^nx-a^n$ có hai nghiệm phân biệt $ \in ( - 1,1)$ Bài giải:
Nhắc lại : Với $0
Từ điều kiện của bài toán ta suy ra $ 0 1) BĐT ${b^m} – {b^n} > 0$ hiển nhiên vì $b \in (0,1)$ và $m Chỉ còn phải chứng minh ${a^m} – {a^n} \ge {b^m} – {b^n}$ (2)
Do $n > m$ nên $n = m + k$ ( với $k \ge 1$)
(2)$ \Leftrightarrow {a^m}(1 – {a^k}) \ge {b^m}(1 – {b^k})$
$ \Leftrightarrow {a^m}(1 – a)(1 + a + {a^2} + … + {a^{k – 1}}) \ge {b^m}(1 – b)(1 + {b^1} + {b^2} + … + {b^{k – 1}})$
$ \Leftrightarrow {a^m}b(1 + a + {a^2} + … + {a^{k – 1}}) \ge {b^m}a.(1 + b + {b^2} + … + {b^{k – 1}})$ (3)
Do $ a \ge b>0$ và $m \ge 1$ nên có ${a^m}b \ge {b^m}a$ (4)
( vì (4) $ \Leftrightarrow ab({a^{m – 1}} – {b^{m – 1}}) \ge 0$)
Mặt khác do $a \ge b > 0$ nên hiển nhiên có
$1 + a + {a^2} + … + {a^{k – 1}} \ge 1 + b + {b^2} + … + {b^{k – 1}}$ (5)
Nhân từng vế (4) và (5) ta được (3) (đpcm)
2) $\Delta = {b^{2n}} + 4{a^n} > 0$ : phương trình có hai nghiệm phân biệt.
$f( 1) = 1 – ({a^n} + {b^n}) =(a+b) – ({a^n} + {b^n}) = (a-a^n)+(b-b^n)>0$ do $a, b \in \left( {0,1} \right)$
$ f(0)= -a^n $f( – 1) = 1 + {b^n} – {a^n} > (1 – {a^n}) + {b^n} > 0$ do $a \in \left( {0,1} \right)$
Do
đó $ f(0).f(1) Vậy phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $(-1, 1)$. (đpcm)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với giá trị nào của $a$, phương trình $1 + sin ^2ax =cosx$ có nghiệm duy nhất?
- Giải và biện luận theo tham số $a$ phương trình: $\sqrt{\log_ a\sqrt[4]{ax}+\log_ x \sqrt[4]{ax} }+\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\frac{x}{a}}-\log_x\sqrt[4]{\frac{x}{a}}}=\sqrt{\log_ax}. (1)$
- Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)
- Cho phương trình: \(|x+1|+m|x-1|=(m+1)\sqrt{x^2-1}, m\) là tham số.a) Giải và biện luận phương trìnhđã chob) Giải phương trình khi \(m=2\).
- Giải và biện luận theo tham số \(m\) phương trình: \(m\sqrt{x}=m-1\) (1)
- Tùy theo $m$, biện luận số nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}x^2-\ln x-m=0$
- Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số : $\frac{x+1}{x+m+2} – \frac{x-1}{x-m+2} = 0 $
- Người ta định sử dụng hai loại xe có tải trọng $7$ tấn và $5$ tấn để chuyển một đống cát có khối lượng $147$ tấn đến một công trường xây dựng. Hãy xác định cách điều động số lượng xe mỗi loại để thực hiện việc chuyển hết đống cát trong một chuyến.
- Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$ $|2x-|2x-1||=-m^2x (1)$
Trả lời