Đề bài:
Giả sử $ a \le b \le c \le d $ . Chứng minh rằng phương trình: $ p(x – a)(x – c) + q(x – b)(x – d) = 0 $ luôn luôn có nghiệm với mọi $p$ và $q$.
Bài giải:
Đặt $ f\left( x \right) = p(x – a)(x – c) + q(x – b)(x – d) $
Nếu $ p = q = 0 $:
Ta có: $ f\left( x \right) = 0 $
Nếu $ p = 0;q \ne 0 $ : $ f\left( x \right) = q(x – b)(x – d) $
Phương trình $ f\left( x \right) = 0 $ có 2 nghiệm: $ {x_1} = b;{x_2} = d $
Nếu $ q = 0;p \ne 0 $ : $ f\left( x \right) = p(x – a)(x – c) $
Phương trình $ f\left( x \right) = 0 $ có 2 nghiệm : $ {x_3} = a;{x_4} = c $
Nếu $ p \ne 0;q \ne 0 $
Ta có : $ f\left( b \right).f\left( d \right) = {p^2}(b – a)(b – c)(d – a)(d – c) Đó là đpcm.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Chứng minh rằng nếu các phương trình $ ax^2 + bx + c = 0 $ và $ a'x^2 + b'x + c = 0 $ có ít nhất một nghiệm chung thì ta có hệ thức : $ (a'c – ac' )^2 = ( a'b – ab' )( cb' – c'b) $
- a) Tìm $m$ để phương trình sau có hai nghiệm dương:$x^2-2(m+2)x+4m+5=0$b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là$\frac{1}{10-\sqrt{ 72} } ; \frac{1}{10+6\sqrt{ 2} } $
- Cho phương trình $(m-1)^2+2mx+m+1=0$Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm âm.
- Giải các phương trình bậc hai:$a) x(x^2-1)(x+2)+1=0 b) x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}=3 $
- So sánh các nghiệm của phương trình với số cho tương ứng:a) $x^2-12x-64=0$ và $7$ b) $-3x^2+10x-7=0$ và $5$
- Tìm $m$ để phương trình: $x^2+mx+2m-4=0$ có ít nhất một nghiệm không âm
- Chứng minh rằng : $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ luôn luôn có nghiệm với mọi $a, b ,c$ .
- Tìm phạm vi thay đổi của $ x,y$ biết rằng $x^2+12xy+4y^2+4x+8y+20=0 (1)$
- Giải các phương trình sau: trong đó $x$ là ẩn, còn $a$ là một góc cho trước:a) $x^2-(\sin a+\cos a)x+\sin a.\cos a=0$b) $x^2-(\tan a+\cot a)x+1=0$
Trả lời