Giải phương trình: $2x^2+2x+1=(4x-1)\sqrt{1+x^2}                         (1)$

Đề bài:

Giải phương trình: $2x^2+2x+1=(4x-1)\sqrt{1+x^2}                         (1)$

Bài giải:

Tập xác định: $R$
Đặt $\sqrt{1+x^2}=t \geq 1 \Rightarrow x^2=t^2-1$, phương trình $(1)$ trở thành
   $2(t^2-1)+2x+1=(4x-1)t \Leftrightarrow 2t^2-(4x-1)t+2x-1=0    (2)$
Xem $(2)$ là phương trình đối với $t$, ta có: $\Delta=(4x-1)^2-8(2x-1)=(4x-3)^2$ nên
$(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t_1=\frac{4x-1-4x+3}{4}=\frac{1}{2}{t_2=\frac{4x-1+4x-3}{4}=2x-1}
\end{array}} \right.$
Với $t=2x-1$ có $\sqrt{1+x^2}=2x-1 \Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \geq 1 \\ 1+x^2=(2x-1)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2x-1 \geq 1 \\ 1+x^2=(2x-1)^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 1 \\ 3x^2-4x=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x \geq 1 \\ x=0  hoặc  x=\frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow x=\frac{4}{3}$
Vậy $x=\frac{4}{3}$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho