Giải phương trình:  $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}                          (1)$ 

Đề bài:

Giải phương trình:  $2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}                          (1)$ 

Bài giải:

Điều kiện: $x\geq 1                    (2)$
Ta có: $(1) \Leftrightarrow 3(x-1)+2(x^2+x+1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}          (1*)$
Để ý $x=1$ không phải là nghiệm, chia hai vế cho $x-1>0$ ta có:
$(1*) \Leftrightarrow 2\frac{x^2+x+1}{x-1}+3=7\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x-1}}               (3)$
Đặt $t=\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x-1}} \Rightarrow x^2+(1-t^2)x+1+t^2=0                      (4)$
$\Delta_x=t^4-6t^2-3$. Tập giá trị của $t$ là nghiệm (*) của $\begin{cases}t \geq 0 \\ \Delta_x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow t \geq \sqrt{3+\sqrt{2\sqrt{3}}}   (5)$
Phương trình $(3)$ trở thành: $2t^2-7t+3=0 \Leftrightarrow \left\{ {t=3; t=\frac{1}{2}} \right\}$
Kết hợp với $(5)$ có $t=3$ thay vào $(4)$ có $x^2-8x+10=0 \Leftrightarrow x=4 \pm \sqrt{6}$ ( thích hợp $(2)$)
Vậy $(1)$ có tập nghiệm là: $x=4 \pm \sqrt{6}$