Giải phương trình: $32x^2+32x=\sqrt{2x+15}+20                                     (1)$

Đề bài:

Giải phương trình: $32x^2+32x=\sqrt{2x+15}+20                                     (1)$

Bài giải:

Điều kiện: $2x+15 \geq 0: (1) \Leftrightarrow 2(4x+2)^2=\sqrt{2x+15}+28                 (2)$
Đặt $\sqrt{2x+15}=4y+2 \Rightarrow (4y+2)^2=2x+15 $
Điều kiện $2x+15 \geq 0 \Leftrightarrow y \geq -\frac{1}{2}                              (3)$
Phương trình $(2)$ trở thành $(4x+2)^2=2y+15$
Ta có: $\begin{cases}(4x+2)^2=2y+15                    (4) \\ (4y+2)^2=2x+15                  (5) \end{cases}$
Trừ vế theo vế các phương trình $(4),(5)$ có: $(x-y)(8x+8y+9)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=y                             (6-1)}\\
{x=-y-\frac{9}{8}                (6-2)}
\end{array}} \right.$
+ Thay $(6-1)$ vào $(5)$ có $16y^2+14y-11=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=\frac{1}{2}}\\
{y=-\frac{11}{8} (L)}
\end{array}} \right.$
Với $y=\frac{1}{2}$, thế vào $(6-1)$ có $x=\frac{1}{2}                 (7)$
+ Thay $(6-2)$ vào $(4)$ có $f(y)=16y^2+18y-\frac{55}{4}=0             (8)$
Để ý: $f(\frac{1}{2})=-\frac{37}{4}Kết hợp với $(3)$ có $y=\frac{-9+\sqrt{221}}{16}$, vào $(6-2)$ có $x=\frac{9+\sqrt{221}}{16}      (9)$
+ Từ $(8),(9) \Rightarrow$ Tập hợp của phương trình $(1)$ là $x=\frac{1}{2}; x=-\frac{9+\sqrt{221}}{16}$