Giải phương trình: $4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^2}                       (1)$

Đề bài:

Giải phương trình: $4\sqrt{1+x}-1=3x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^2}                       (1)$

Bài giải:

Điều kiện: $-1 \leq x \leq 1                     (2)$
Đặt $\sqrt{1-x}=t \geq 0 \Rightarrow$ Sẽ có $3x=2(1+x)-(1-x)-1=2(1+x)-t^2-1$
Phương trình $(1)$ trở thành $4\sqrt{1+x}-1=2(1+x)-t^2-1+2t+t\sqrt{1+x}$
$\Leftrightarrow t^2-(2+\sqrt{1+x})t+4\sqrt{1+x}-2(1+x)=0             (3)$
Xem $(3)$ là phương trình bậc hai đối với $t$, có $\Delta=(2-3\sqrt{1+x})^2$
Suy ra $(3) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t=2\sqrt{1+x}}\\
{t=2-\sqrt{1+x}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt{1-x}=2\sqrt{1+x}}\\
{\sqrt{1-x}=2-\sqrt{1+x}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=-\frac{3}{5}}\\
{x=0}
\end{array}} \right.$    ( thích hợp $(2)$)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0$ và $x=-\frac{3}{5}$