Đề bài:
Giải phương trình: $4x^2+\sqrt{3x+1}+5=13x (1)$
Bài giải:
Điều kiện: $3x+1 \geq 0$: Viết lại $(1) \Leftrightarrow (2x-3)^2=-\sqrt{3x+1}+x+4 (2)$
Đặt $\sqrt{3x+1}=-(2y-3) \Rightarrow (2y-3)^2=3x+1$; Điều kiện:$3x+1 \geq 0 \Leftrightarrow y \leq \frac{3}{2} (3)$
Phương trình $(2)$ trở thành $(2x-3)=2y+x+1$
Ta có hệ $\begin{cases}(2x-3)^2=2y+x+1 (4)\\ (2y-3)^2=3x+1 (5) \end{cases}$
Trừ vế theo các vế phương trình $(4),(5)$ có: $(x-y)(2x+2y-5)=0$
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=y (6-1)}\\
{x=\frac{5}{2}-y (6-2)}
\end{array}} \right.$
+ Thay $(6-1)$ vào $(4)$ có $f(y)=4y^2-15y+8=0 (7)$
Để ý: $f(\frac{2}{3})=-\frac{1}{3}Kết hợp với $(3)$ có $y=\frac{15-\sqrt{97}}{8}$
$\Rightarrow$ Phương trình $(2)$ có $1$ nghiệm là $x=\frac{15-\sqrt{97}}{8} (8)$
+ Thay $(6-2)$ vào $(4)$ có $h(y)=8y^2-18y+1=0 (9)$
Để ý: $h(\frac{3}{2})=-8Kết hợp với $(3)$ có $y=\frac{9-\sqrt{73}}{8}$
+ Thay vào $(6-2)$ có $x=\frac{11+\sqrt{73}}{8} (10)$
+ Từ $(8),(10) \Rightarrow$ Phương trình $(2)$ có tập nghiệm là:
$x=\frac{15-\sqrt{97}}{8}; x=\frac{11+\sqrt{73}}{8}$
Trả lời