Đề bài:
Giải phương trình: $(a-x)^5+(x-b)^5=(a-b)^5 a\neq b$
Bài giải:
Đặt
$ \begin{array}{l}
u = a – x\\
v = x – b\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + v = a – b\\
{u^5} + {v^5} = {\left( {a – b} \right)^5}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(*)
\end{array} $
Ta có :
$ \begin{array}{l}
{u^5} + {v^5} = \left( {u + v} \right)\left\{ {\left[ {{{\left( {u + v} \right)}^2} – 2uv} \right] – uv{{\left( {u + v} \right)}^2} + {u^2}{v^2}} \right\}\\
\Rightarrow {\left( {a – b} \right)^5} = \left( {a – b} \right)\left\{ {{{\left[ {{{\left( {a – b} \right)}^2} – 2uv} \right]}^2} – uv{{\left( {a – b} \right)}^2} + {u^2}{v^2}} \right\}\\
\Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^4} = {\left( {a – b} \right)^4} – 4{\left( {a – b} \right)^2}uv + 4{\left( {uv} \right)^2} – uv{\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {uv} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 5{\left( {uv} \right)^2} – 5{\left( {a – b} \right)^2}\left( {uv} \right) = 0\\
\Leftrightarrow uv = 0\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,\,uv = {\left( {a – b} \right)^2}
\end{array} $
Do đó ta có:
$ \begin{array}{l}
(*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u + v = a – b\\
uv = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \vee \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
u + v = a – b\\
uv = {\left( {a – b} \right)^2}
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
(1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = 0\\
v = a – b
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \vee \left\{ \begin{array}{l}
u = a – b\\
v = 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a – x = 0\\
x – b = a – b
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\, \vee \left\{ \begin{array}{l}
a – x = a – b\\
x – b = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = a\,\,\,\,\,\, \vee \,\,\,\,x = b
\end{array} $
(2) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : $ {x_1} = a;\,\,\,\,{x_2} = b $
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Giải phương trình: $(x+3)^4+(x+5)^4=2 (1)$
- Giải phương trình: $2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0 (1)$
- Giải phương trình: $2(x-3)^2(x+2)^2=(2x-1)^2-9 (1)$
- Giải phương trình $2x^3-11x^2+11x-3=0$
- Giải phương trình: $x^4=2x^2+3x-\frac{7}{16} (1)$
- Giải phương trình: $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\frac{1}{2^{2005}}$
- Giải phương trình: $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$
- Giải phương trình: $x^2(x-1)^2=(2x-1)^2+2 (1)$
- Giải phương trình: $(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)+5x^4=0 (*)$
Trả lời