Giải phương trình: $\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$

Đề bài:

Giải phương trình: $\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$

Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương với
    $\sqrt[3]{{2{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{2{\rm{x}} – 1}} = x\sqrt[3]{{16}}$
$ \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 3\sqrt[3]{{4{{\rm{x}}^2} – 1}}\left( {\sqrt[3]{{2{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{2{\rm{x  –  }}1}}} \right) = 16{{\rm{x}}^3}$
$ \Leftrightarrow 4{\rm{x}}\left( {4{{\rm{x}}^2} – 1} \right) – 3\sqrt[3]{{4{{\rm{x}}^2} – 1}}\left( {\sqrt[3]{{2{\rm{x}} + 1}} + \sqrt[3]{{2{\rm{x  –  }}1}}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 4{\rm{x}}\left( {4{{\rm{x}}^2} – 1} \right) – 3\sqrt[3]{{4{{\rm{x}}^2} – 1}}.x\sqrt[3]{{16}} = 0$
$ \Leftrightarrow x\sqrt[3]{{4{{\rm{x}}^2} – 1}}\left( {2\sqrt[3]{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} – 1} \right)}^2}}} – 3\sqrt[2]{2}} \right) = 0$
a) $x = 0$
b) $\sqrt[3]{{4{{\rm{x}}^2} – 1}} = 0 \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{2}$
c) $2\sqrt[3]{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} – 1} \right)}^2}}} – 3\sqrt[3]{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left( {4{{\rm{x}}^2} – 1} \right)}^2}}} = \frac{{3\sqrt[3]{2}}}{2}$
$ \Leftrightarrow \left( {4{{\rm{x}}^2} – 1} \right) = \frac{{{3^2}}}{{{2^2}}} \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} – 1 = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$
$ \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = 1 \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4{{\rm{x}}^2} = 1 – \frac{{3\sqrt 3 }}{2} 4{{\rm{x}}^2} = 1 + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{2 + 3\sqrt 3 }}{2}}  =  \pm \frac{{\sqrt {2 + 3\sqrt 3 } }}{{2\sqrt 2 }}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $ 0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{{\sqrt {2 + 3\sqrt 3 } }}{{2\sqrt 2 }}$