Giải phương trình:   $\sqrt{9x^3-18x^2}+\sqrt{36x^2-9x^3}=9+x^2      (1)$

Đề bài:

Giải phương trình:   $\sqrt{9x^3-18x^2}+\sqrt{36x^2-9x^3}=9+x^2      (1)$

Bài giải:

Tập xác định $D=[2;4]                  (2)$
Xét các vecto $\overrightarrow{u}=(1;1), \overrightarrow{v}=(\sqrt{9x^3-18x^2};\sqrt{36x^2-9x^3})$
Suy ra: $|\overrightarrow{u}|=\sqrt{2}, |\overrightarrow{v}|=\sqrt{9x^3-18x^2+36x^2-9x^3}=3|x|.\sqrt{2}=3x.\sqrt{2}    ( x\in D)$
Từ đó $\Rightarrow |\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|=6x, \overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=\sqrt{9x^3-18x^2}+\sqrt{36x^2-9x^3}$
Do vậy $(1) \Rightarrow 9+x^2=\overrightarrow{u}\overrightarrow{v} \leq |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|=6x \Rightarrow 9+x^2 \mathop {\leq }\limits^{(3)} 6x        (3)$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{9x^3-18x^2}}{1}=\frac{\sqrt{36x^2-9x^3}}{1}$
$\Leftrightarrow 9x^3-18x^2=36x^2-9x^3 \Leftrightarrow x^2(x-3)=0 \mathop {\Leftrightarrow }\limits^{(2)} x=3   (4)$
Xét bất phương trình $(3)$: Ta có $(3) \Leftrightarrow (x-3)^2 \leq 0 \Leftrightarrow x=3    (5)$
Từ $(4),(5)$ kết luận $x=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho