Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+x^2+2x-3-\sqrt{2}=0                                  (1)$

Đề bài:

Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+x^2+2x-3-\sqrt{2}=0                                  (1)$

Bài giải:

Điều kiện:  $1 \leq x \leq 3                            (2)$
* Ta có: $(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x})^2=2+2\sqrt{(x-1)(3-x)} \geq 2 \Rightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{3-x} \geq \sqrt{2}$
Dấu đẳng thức có khi: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=1}\\
{x=3}
\end{array}} \right.                (3)$
Suy ra: $\sqrt{2}+x^2+2x-3-\sqrt{2} \leq 0 \Leftrightarrow x^2+2x-3 \leq 0 \Leftrightarrow -3 \leq x \leq 1            (4)$
Từ $(2),(3)$ và $(4)$ suy ra $x=1$. Thay $x=1$ vào $(1)$ thấy đúng.
Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho