Giải phương trình:  $ \sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}(x+y+z)                      (1)$

Đề bài:

Giải phương trình:  $ \sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}(x+y+z)                      (1)$

Bài giải:

Điều kiện: $x \geq 0, y \geq 1, z \geq 2              (2)$
Theo bất đẳng thức Cô-si: $\begin{cases}2 \sqrt{1.x} \leq 1+x \\ 2\sqrt{1(y-1)} \leq 1+y-1 \\  2\sqrt{1(z-2)} \leq 1+z-2 \end{cases}$
$\Rightarrow 2(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}) \leq (x+y+z)$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2} \leq \frac{1}{2}(x+y+z)$
dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $\begin{cases}1=x \\ 1=y-1 \\  1=z-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=2 \\  z=3 \end{cases}$ ( thích hợp $(2)$)
Do vậy $(1) \Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=2 \\  z=3 \end{cases}$. Đó là cặp nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.