Đề bài:
Giải phương trình: $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\frac{1}{2^{2005}}$
Bài giải:
Ta có: với $n\in \mathbb{N}^*$ và $a+b\geq 0$ ta luôn có:
$
\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^n$
Dấu $”=”$ xảy ra khi:
$\left[ \begin{array}{I} a=b ; n=2k \\ a^2=b^2 ; n=2k+1\end{array}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
$ \displaystyle VT=(x+1)^{2006}+(-x-2)^{2006}\geq 2(\frac{x+1-x-2}{2})^{2006}=\frac{1}{2^{2005}}=VP$.
Do đó, phương trình tương với dấu $”=”$ xảy ra cho bất đẳng thức, tức là:
$
\displaystyle x+1=-x-2\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $
\displaystyle x=\frac{-3}{2}$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Giải phương trình: $(x+3)^4+(x+5)^4=2 (1)$
- Giải phương trình: $(a-x)^5+(x-b)^5=(a-b)^5 a\neq b$
- Giải phương trình: $2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0 (1)$
- Giải phương trình: $2(x-3)^2(x+2)^2=(2x-1)^2-9 (1)$
- Giải phương trình $2x^3-11x^2+11x-3=0$
- Giải phương trình: $x^4=2x^2+3x-\frac{7}{16} (1)$
- Giải phương trình: $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$
- Giải phương trình: $x^2(x-1)^2=(2x-1)^2+2 (1)$
- Giải phương trình: $(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)+5x^4=0 (*)$
Trả lời