Giải phương trình:    $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\frac{1}{2^{2005}}$

Đề bài:

Giải phương trình:    $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\frac{1}{2^{2005}}$

Bài giải:

Ta có: với $n\in \mathbb{N}^*$ và $a+b\geq 0$ ta luôn có:
   $
\displaystyle  \frac{a^n+b^n}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^n$
Dấu $”=”$ xảy ra khi:
   $\left[ \begin{array}{I} a=b        ;  n=2k \\ a^2=b^2  ;  n=2k+1\end{array}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
   $ \displaystyle VT=(x+1)^{2006}+(-x-2)^{2006}\geq 2(\frac{x+1-x-2}{2})^{2006}=\frac{1}{2^{2005}}=VP$.
Do đó, phương trình tương với dấu $”=”$ xảy ra cho bất đẳng thức, tức là:
   $
\displaystyle x+1=-x-2\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $
\displaystyle x=\frac{-3}{2}$