Giải phương trình:  $(x+1)^6+(x+\sqrt{5})^6=18-8\sqrt{5}                           (1)$

Đề bài:

Giải phương trình:  $(x+1)^6+(x+\sqrt{5})^6=18-8\sqrt{5}                           (1)$

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n$ với $a+b>0$ ta có:
      $\frac{(-x-1)^6+(x+\sqrt{5})^6}{2} \geq (\frac{-x-1+x+\sqrt{5}}{2})^6=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^6$
Để ý: $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^6=[(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^3]^2=(2-\sqrt{5})^2=9-4\sqrt{5}$
Suy ra: $\frac{(-x-1)^6+(x+\sqrt{5}}{2} \geq 9-4\sqrt{5} \Leftrightarrow (x+1)^6+(x+\sqrt{5})^6=18-8\sqrt{5}$
Dấu đẳng thức có khi $-x-1=x+\sqrt{5} \Leftrightarrow x=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Bởi thế $(1) \Leftrightarrow x=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Đó là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho