Giải phương trình  $ x^2 + \sqrt {x + 5}  = 5       (1) $

Đề bài:

Giải phương trình  $ x^2 + \sqrt {x + 5}  = 5       (1) $

Bài giải:

Điều kiện :  $  – \sqrt 5  Đặt  $ t = \sqrt {5 + x} ,\,\,\,\,t > 0 $
Ta có :
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t^2} = x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
{x^2} + t = 5\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} – {t^2} + \left( {x + t} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x + t} \right)\left( {x – t + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + t = 0\\
x – t + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array} $
a.    Xét khả năng  $ x + t = 0 \Leftrightarrow t =  – x $
Thay vào (3), ta có:
$ \begin{array}{l}
{x^2} – x + 5 = 0
\Leftrightarrow x = \frac{{1 – \sqrt {21} }}{2}\,\,\,\, \vee \,\,\,\,x = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}
\end{array} $
Chỉ có nghiệm  $ x = \frac{{1 – \sqrt {21} }}{2}\, $  thỏa mãn.
b.    Xét khả năng 
$ x – t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = x + 1 $  $ \begin{array}{l}
(3) \Rightarrow {x^2} + x – 4 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt {17} }}{2}\,\,;{x_2} = \frac{{ – 1 – \sqrt {17} }}{2}
\end{array} $
Chỉ có có nghiệm  $ x = \frac{{ – 1 + \sqrt {17} }}{2} $  thỏa.
Vậy (1) có hai nghiệm là  $ x = \frac{{1 – \sqrt {21} }}{2}\, $ ; $ x = \frac{{ – 1 + \sqrt {17} }}{2} $.