Đề bài:
Giải phương trình: $(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)+5x^4=0 (*)$
Bài giải:
Chia hai vế phương trình (*) cho $ {x^4} \ne 0 $, ta có: $ {\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^4} – 6{\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} + 5 = 0 $
Đặt ${\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} = y,y > o $ ,
Ta có : $ \begin{array}{l}
{y^2} – 6y + 5 = 0
\Leftrightarrow y = 5\,\,\,\,\, \vee \,\,\,y = 1
\end{array} $
Với
$ \begin{array}{l}
y = 5 \Rightarrow {\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} = 5
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – \left( {\sqrt 5 + 1} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
{x^2} + \left( {\sqrt 5 + 1} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array} $
(2) vô nghiệm trên R.
(1) có 2 nghiệm : $ {x_{1,2}} = \frac{{\sqrt 5 + 1 \pm \sqrt {2\left( {\sqrt 5 + 1} \right)} }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,(a) $
Với
$ \begin{array}{l}
y = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} = 1
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 2x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,(3)\\
{x^2} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)
\end{array} \right.
\end{array} $
(4) vô nghiệm
(3) có nghiệm kép x = 1 (b)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm cho bởi (a) và (b).
Cách 2 :
Đặt $ t = {\left( {{x^2} – x + 1} \right)^2},\,\,\,t \ge 0 $
Ta có:
$ \begin{array}{l}
{t^2} – 6{x^2}t + 5{x^4} = 0
\Leftrightarrow t = 5{x^2}\,\,\,\, \vee \,\,\,\,t = {x^2}
\end{array} $
Giải phương trình
$ t = 5{x^2} $
$ \begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} – x + 1} \right)^2} = 5{x^2}\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^2} – \left( {\sqrt 5 + 1} \right)x + 1} \right]\left[ {{x^2} + \left( {\sqrt 5 – 1} \right)x} \right] + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – \left( {\sqrt 5 + 1} \right)x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 5 + 1 \pm \sqrt {2\left( {\sqrt {5 + 1} } \right)} }}{2}
\end{array} $
Giải phương trình
$ t = {x^2} $
$ \begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {{x^2} – x + 1} \right)^2} = {x^2} \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array} $
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Giải phương trình: $(x+3)^4+(x+5)^4=2 (1)$
- Giải phương trình: $(a-x)^5+(x-b)^5=(a-b)^5 a\neq b$
- Giải phương trình: $2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0 (1)$
- Giải phương trình: $2(x-3)^2(x+2)^2=(2x-1)^2-9 (1)$
- Giải phương trình $2x^3-11x^2+11x-3=0$
- Giải phương trình: $x^4=2x^2+3x-\frac{7}{16} (1)$
- Giải phương trình: $(x+1)^{2006}+(x+2)^{2006}=\frac{1}{2^{2005}}$
- Giải phương trình: $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$
- Giải phương trình: $x^2(x-1)^2=(2x-1)^2+2 (1)$
Trả lời