Giải phương trình:   $(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)+5x^4=0      (*)$

Đề bài:

Giải phương trình:   $(x^2-x+1)^4-6x^2(x^2-x+1)+5x^4=0      (*)$

Bài giải:

Chia hai vế phương trình (*) cho  $ {x^4} \ne 0 $, ta có: $ {\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^4} – 6{\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} + 5 = 0 $
Đặt  ${\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} = y,y > o $ ,
Ta có : $ \begin{array}{l}
{y^2} – 6y + 5 = 0
 \Leftrightarrow y = 5\,\,\,\,\, \vee \,\,\,y = 1
\end{array} $
Với
$ \begin{array}{l}
y = 5 \Rightarrow {\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} = 5
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – \left( {\sqrt 5  + 1} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
{x^2} + \left( {\sqrt 5  + 1} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.
\end{array} $
(2) vô nghiệm trên R.
(1) có 2 nghiệm : $ {x_{1,2}} = \frac{{\sqrt 5  + 1 \pm \sqrt {2\left( {\sqrt 5  + 1} \right)} }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,(a) $
Với 
$ \begin{array}{l}
y = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{{{x^2} – x + 1}}{x}} \right)^2} = 1
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} – 2x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,(3)\\
{x^2} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)
\end{array} \right.
\end{array} $
(4) vô nghiệm
(3) có nghiệm kép x = 1                       (b)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm cho bởi (a) và (b).

Cách 2 :

Đặt  $ t = {\left( {{x^2} – x + 1} \right)^2},\,\,\,t \ge 0 $
Ta có:
$ \begin{array}{l}
{t^2} – 6{x^2}t + 5{x^4} = 0
 \Leftrightarrow t = 5{x^2}\,\,\,\, \vee \,\,\,\,t = {x^2}
\end{array} $
Giải phương trình 
$ t = 5{x^2} $ 
$ \begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} – x + 1} \right)^2} = 5{x^2}\\
\Leftrightarrow \left[ {{x^2} – \left( {\sqrt 5  + 1} \right)x + 1} \right]\left[ {{x^2} + \left( {\sqrt 5  – 1} \right)x} \right] + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – \left( {\sqrt 5  + 1} \right)x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 5  + 1 \pm \sqrt {2\left( {\sqrt {5 + 1} } \right)} }}{2}
\end{array} $
Giải phương trình 
$ t = {x^2} $
$ \begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {{x^2} – x + 1} \right)^2} = {x^2} \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array} $
Vậy  phương trình đã cho có 3 nghiệm.