Giải  phương trình $x^2-x+1=\sqrt{\frac{x^3+x}{2}}                 (1)$

Đề bài:

Giải  phương trình $x^2-x+1=\sqrt{\frac{x^3+x}{2}}                 (1)$

Bài giải:

Điều kiện $x^2+x \geq 0$
Bình phương hai vế của $(1)$ ta có: $2(x^2-x+1)^2=x^3+x                  (2)$
Thấy rằng phương trình không có nghiệm $x=0               (3)$
Với $x \neq 0$ chia hai vế cho $x^2 >0$ ta có: $(3) \Leftrightarrow 2(x+\frac{1}{x}-1)^2=x+\frac{1}{x}     (4)$
Đặt $t=x+\frac{1}{x}, |t| \geq 2  (5)$ Phương trình $(4)$ trở thành $2(t-1)^2=t$
$\Leftrightarrow 2t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t=2}\\
{t=\frac{1}{2}  (L  do  (5))}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow t=2$
Với $t=2$ có $x+\frac{1}{x}=2 \Leftrightarrow (x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1$ ( thích hợp )
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x=1$