Giải phương trình:  $x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2(1-x^2)} $

Đề bài:

Giải phương trình:  $x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2(1-x^2)} $

Bài giải:

Điều kiện của nghiệm : $\left| x \right| \le 1$. Với điều kiện đó ta đặt $x = \cos t,0 \le t \le \pi ,\sin t \ge 0$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
    $c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t + {\sin ^3}t = \sqrt 2 \cos t\sin t$
    $ \Leftrightarrow \left( {\cos t + \sin t} \right)\left( {{{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t – \cos t\sin t} \right) = \sqrt 2 \sin t\cos t$            $(1)$
Đặt $u = \cos t + \sin t,{\rm{   – 1 }} \le {\rm{ u }} \le \sqrt 2 $ ( do $\sin t \ge 0$), khi đó ( 1) trở thành
    $u\left( {1 – \frac{{{u^2} – 1}}{2}} \right) = \sqrt 2 \frac{{{u^2} – 1}}{2} \Leftrightarrow {u^3} + \sqrt 2 {u^2} – 3u – \sqrt 2  = 0$            $(2)$
Dễ nhận thấy rằng $u = \sqrt 2 $ là một nghiệm của $(2)$
Từ đó $(2)  \Leftrightarrow \left( {u – \sqrt 2 } \right)\left( {{u^2} + 2\sqrt 2 u + 1} \right) = 0$
                   $ \Leftrightarrow \left( {u – \sqrt 2 } \right)\left( {u + \sqrt 2  – 1} \right)\left( {u + \sqrt 2  + 1} \right) = 0$

a) $\sqrt 2  = u = \cos t + \sin t = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {t – \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t = \frac{\pi }{4} $
    $\Rightarrow x = \cos t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

b) $1 – \sqrt 2  = u = \cos t + \sin t \Rightarrow x + \sqrt {1 – {x^2}}  = 1 – \sqrt 2 $
       $ \Leftrightarrow \sqrt {1 – {x^2}}  = 1 – \sqrt {2 – x}  \Rightarrow 1 – {x^2} = {\left( {1 – \sqrt 2  – x} \right)^2}$
    $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sqrt {1 – {x^2}}  = 1 – \sqrt {2 – x}  \Rightarrow 1 = {x^2} = {\left( {1 – \sqrt 2  – x} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {x^2} – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 – \sqrt 2 } \right) = 0
\end{array}$
       $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 2  – \sqrt {2\sqrt 2  – 1} }}{2} $\Rightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 2  + \sqrt {2\sqrt 2  – 1} }}{2}
c) $u = – 1 – \sqrt 2 
Đáp số : $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2},x = \left( {1 – \sqrt 2  + \sqrt {2\sqrt 2  – 1} } \right)/2$