Đề bài:
Giải phương trình: $x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2(1-x^2)} $
Bài giải:
Điều kiện của nghiệm : $\left| x \right| \le 1$. Với điều kiện đó ta đặt $x = \cos t,0 \le t \le \pi ,\sin t \ge 0$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
$c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t + {\sin ^3}t = \sqrt 2 \cos t\sin t$
$ \Leftrightarrow \left( {\cos t + \sin t} \right)\left( {{{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t – \cos t\sin t} \right) = \sqrt 2 \sin t\cos t$ $(1)$
Đặt $u = \cos t + \sin t,{\rm{ – 1 }} \le {\rm{ u }} \le \sqrt 2 $ ( do $\sin t \ge 0$), khi đó ( 1) trở thành
$u\left( {1 – \frac{{{u^2} – 1}}{2}} \right) = \sqrt 2 \frac{{{u^2} – 1}}{2} \Leftrightarrow {u^3} + \sqrt 2 {u^2} – 3u – \sqrt 2 = 0$ $(2)$
Dễ nhận thấy rằng $u = \sqrt 2 $ là một nghiệm của $(2)$
Từ đó $(2) \Leftrightarrow \left( {u – \sqrt 2 } \right)\left( {{u^2} + 2\sqrt 2 u + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {u – \sqrt 2 } \right)\left( {u + \sqrt 2 – 1} \right)\left( {u + \sqrt 2 + 1} \right) = 0$
a) $\sqrt 2 = u = \cos t + \sin t = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {t – \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t = \frac{\pi }{4} $
$\Rightarrow x = \cos t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
b) $1 – \sqrt 2 = u = \cos t + \sin t \Rightarrow x + \sqrt {1 – {x^2}} = 1 – \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow \sqrt {1 – {x^2}} = 1 – \sqrt {2 – x} \Rightarrow 1 – {x^2} = {\left( {1 – \sqrt 2 – x} \right)^2}$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt {1 – {x^2}} = 1 – \sqrt {2 – x} \Rightarrow 1 = {x^2} = {\left( {1 – \sqrt 2 – x} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} – \left( {1 – \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 – \sqrt 2 } \right) = 0
\end{array}$
$ \Leftrightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 2 – \sqrt {2\sqrt 2 – 1} }}{2} $\Rightarrow x = \frac{{1 – \sqrt 2 + \sqrt {2\sqrt 2 – 1} }}{2}
c) $u = – 1 – \sqrt 2
Đáp số : $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2},x = \left( {1 – \sqrt 2 + \sqrt {2\sqrt 2 – 1} } \right)/2$
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(\sqrt{4-x}-2=\sqrt{x} -x\)
- Giải phương trình: $2x^2-5\sqrt{x^2-3x+5}=6x-7 (1)$
- Giải phương trình: $\frac{1}{x} +\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=2 (1)$
- Giải phương trình: $(2x^2+5x-3)\sqrt{14+5x-x^2}=0 (1)$
- Giải phương trình: $x^2+3x+1=\sqrt{x^4+x^2+1} (1)$
- Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+x^2+2x-3-\sqrt{2}=0 (1)$
- Giải phương trình: $x+\sqrt{3+\sqrt{x}}=3$
- Giải phương trình: $2.\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1$
- Giải phương trình: $ \sqrt {x + 1} – 1 = \sqrt {x – \sqrt {x + 8} } (*) $
Trả lời