Giải phương trình:  $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$

Đề bài:

Giải phương trình:  $x^6-7x^2+\sqrt{6}=0$

Bài giải:

* $x_0$ là nghiệm của phương trình $(1) \Leftrightarrow x_0^6-7x_0^2+\sqrt{6}=0$
  $\Leftrightarrow x_0^6-(6+1)x_0^2+\sqrt{6}=0 \Leftrightarrow x_0^26-\sqrt{6}-x_0^6+x_0^2=0 \Rightarrow \sqrt{6}$ là nghiệm của phương trình sau  với ẩn là $a: x_0^2a^2-a-x_0^6+x_0^2=0    (2)$
  Thấy rằng $(1)$ không có nghiệm $x=0 \Rightarrow (2)$ là phương trình bậc hai đối với $a$ và $\Delta=1-4x_0^2(-x_0^2+x_0^2)=4x^8_0-4x_0^4+1=(2x^4_0-1)^2$
  $\Rightarrow $ Các nghiệm của phương trình $(2)$ là $a_1=x_0^2; a_2=\frac{1-x_0^4}{x_0^2}$
Suy ra $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=a_1}\\
{a=a_2}
\end{array}} \right.\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=x_0^2}\\
{a=\frac{1-x_0^4}{x_0^2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=x_0^2}\\
{x_0^4+ax_0^2-1=0}
\end{array}} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_0^2=a}\\
{x_0^2=\frac{-a \pm \sqrt{a^2+4}}{2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_0^2=\sqrt{6}}\\
{x_0^2=\frac{-6 \pm \sqrt{10}}{2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_0=\pm \sqrt[4]{6}}\\
{x_0=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_0=\pm \sqrt[4]{6}}\\
{x_0=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}}
\end{array}} \right.$