Giải phương trình:   $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}                  (1)$ 

Đề bài:

Giải phương trình:   $x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}                  (1)$ 

Bài giải:

Điều kiện: $x>1                    (2)$
Với điều kiện đó, đặt $x=\frac{1}{y}$, điều kiện $(2) \Leftrightarrow 0Phương trình $(1)$ trở thành:
$\frac{1}{y}+\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{35}{12} \Leftrightarrow y+\sqrt{1-y^2}=\frac{35}{12}y\sqrt{1-y^2}     (4)$
Đặt $t=y+\sqrt{1-y^2} \Rightarrow t^2=1+2y\sqrt{1-y^2} \Leftrightarrow y\sqrt{1-y^2}=\frac{t^2-1}{2}    (5)$
ĐIều kiện: $1Phương trình $(4)$ trở thành $t=\frac{35(t^2-1)}{24} \Leftrightarrow 35t^2-24t-35=0$
$\Leftrightarrow \left\{ {t=\frac{7}{5},t=-\frac{5}{7}    ( loại do (6)} \right\}$. Thay $t=\frac{7}{5}$ vào $(5)$ có:
$y\sqrt{1-y^2}=\frac{\frac{49}{25}-1}{2} \Leftrightarrow y\sqrt{1-y^2}=\frac{12}{25} \Leftrightarrow y^2(1-y^2)=\frac{144}{625} \Leftrightarrow y^4-y^2+\frac{144}{625}=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y^2=\frac{16}{25}}\\
{y^2=\frac{9}{25}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=\pm \frac{4}{5}}\\
{y=\pm \frac{3}{5}}
\end{array}} \right.                    (7)$
Từ $(3),(7)$ suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=\frac{4}{5}}\\
{y=\frac{3}{5}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=\frac{5}{4}}\\
{x=\frac{5}{3}}
\end{array}} \right.$
Đó là tập nghiệm của phương trình đã cho.