Giải phương trình:  $x+\sqrt{3+\sqrt{x}}=3$

Đề bài:

Giải phương trình:  $x+\sqrt{3+\sqrt{x}}=3$

Bài giải:

Điều kiện: $0Với điều kiện đó ta có: $(1) \Leftrightarrow 3-x=\sqrt{3+\sqrt{x}} \Leftrightarrow (3-x)^2=3+\sqrt{x}      (3)$
Đặt $3=a$, phương trình $(3)$ được viết $(a-x)^2=a\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow a^2-(2x+1)a+(x^2-\sqrt{x})=0                      (4)$
Xem $(4)$ là phương trình bậc hai đối với $a$
$\Delta_a=(2x+1)^2-4(x^2-\sqrt{x})=(2\sqrt{x}+1)^2, a_1=x+\sqrt{x}+1, a_2=x-\sqrt{x}$
Do vậy $(4) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=a_1}\\
{a=a_2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=x^2+x+1}\\
{a=x-\sqrt{x}}
\end{array}} \right.   (5)$ Thay vào $a=3$ ta có
$(5) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{3=x^2+x+1}\\
{3=x-\sqrt{x}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x^2+x-2=0}\\
{x-\sqrt{x}-3=0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\sqrt{x}=1}\\
{\sqrt{x}=-2}\\
{\sqrt{x}=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}}
\end{array}} \right.$