Đề bài:
Giải và biện luận các phương trình sau:a) \( |mx+3|=|-x+m|\)b) \(|2x+m-1|=||x|+m|\)
Bài giải:
Giải
a) Xét phương trình: \(|mx+3|=|-x+m|\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx+3 = -x+m (1)\\mx+3=-(-x+m) (2)\end{array} \right.\)
* \((1)\Leftrightarrow (m+1)x=m-3\)
– Với \(m\neq -1\) thì \((1)\) có nghiệm là \(x_1=\frac{m-3}{m+1}\)
– Với \(m=-1\) thì \((1)\) trở thành \(0x=-4\) ( vô nghiệm )
* \((2)\Leftrightarrow (m-1)x=m-3\)
– Với Với \(m\neq 1\) thì \((2)\) có nghiệm là \(x_2=\frac{-m-3}{m-1}\)
– Với \(m=1\) thì \((2)\) trở thành \(0x=-4\) ( vô nghiệm )
Nhận xét rằng : \(x_1=x_2\Leftrightarrow \frac{m-3}{m+1}=\frac{-m-3}{m-1}\)
\(\Leftrightarrow(m+3)(m-1)=(-m-3)(m+1)\)
hay \(m^2-4m+3=-m^2-4m-3\)
\(\Leftrightarrow2(m^2+3)=0\): vô nghiệm
Vậy với mọi \(m\neq \pm1\) thì \(x_1\neq x_2\)
Kết luận:
* \( m\neq1\) và \(m\neq-1\):
Phương trình có hai nghiệm \(x=\frac{m-3}{m+1}\) và \(x=\frac{-m-3}{m-1}\)
* \( m=1\): Phương trình có 1 nghiệm \(x=-1\)
* \( m=-1\):Phương trình có 1 nghiệm \(x=1\).
b) Với phương trình: \(|2x+m-1|=||x|+m|\) ta xét 2 trường hợp:
* \(x\geq0\): ta có \(|2x+m-1|=||x|+m|\)
\(\Leftrightarrow|2x+m-1|=||x|+m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+m-1=x+m (1)\\2x+m-1=-x-m (2) \end{array} \right.\)
Ta có: \((1)\Leftrightarrow x=1\) (thỏa mãn điều kiện\(x\geq0\)) và \((2)\Leftrightarrow x=\frac{1-2m}{3}\)
Do điều kiện \(x\geq0\) nên \(\frac{1-2m}{3}\geq0\Leftrightarrow1-2m\geq0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}\)
* Nếu \(x \(\Leftrightarrow |2x+m-1|=|-x+m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+m-1=-x+m (3)\\2x+m-1=-x-m (4)\end{array} \right.\)
Ta có: \((3)\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}>0\) (loại);
\((4)\Leftrightarrow x=1-2m\) do điều kiện \(x\frac{1}{2}\). Vậy
* \(m\leq \frac{1}{2}\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x=1\) và \(x=\frac{1-2m}{3}\)
* \(m> \frac{1}{2}\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x=1\) và \(x=1-2m\)
Nhận xét: Đối với các phương trình chứa giá trị tuyệt đối có dạng: \(|A|=|B|\) như trong bài này thì ta áp dụng tính chất:
\(|A|=|B|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A=B\\A=-B\end{array} \right.\)
Câu trắc nghiệm liên quan:
- Với giá trị nào của $a$, phương trình $1 + sin ^2ax =cosx$ có nghiệm duy nhất?
- Giải và biện luận theo tham số $a$ phương trình: $\sqrt{\log_ a\sqrt[4]{ax}+\log_ x \sqrt[4]{ax} }+\sqrt{\log_a\sqrt[4]{\frac{x}{a}}-\log_x\sqrt[4]{\frac{x}{a}}}=\sqrt{\log_ax}. (1)$
- Định m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:\( x^{2}+x=m|2x-2|\)
- Cho phương trình: \(|x+1|+m|x-1|=(m+1)\sqrt{x^2-1}, m\) là tham số.a) Giải và biện luận phương trìnhđã chob) Giải phương trình khi \(m=2\).
- Giải và biện luận theo tham số \(m\) phương trình: \(m\sqrt{x}=m-1\) (1)
- Tùy theo $m$, biện luận số nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}x^2-\ln x-m=0$
- Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số : $\frac{x+1}{x+m+2} – \frac{x-1}{x-m+2} = 0 $
- Người ta định sử dụng hai loại xe có tải trọng $7$ tấn và $5$ tấn để chuyển một đống cát có khối lượng $147$ tấn đến một công trường xây dựng. Hãy xác định cách điều động số lượng xe mỗi loại để thực hiện việc chuyển hết đống cát trong một chuyến.
- Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$ $|2x-|2x-1||=-m^2x (1)$
Trả lời