Giải và biện luận các phương trình sau:a) \( |mx+3|=|-x+m|\)b) \(|2x+m-1|=||x|+m|\)

Đề bài:

Giải và biện luận các phương trình sau:a) \( |mx+3|=|-x+m|\)b) \(|2x+m-1|=||x|+m|\)

Bài giải:

Giải
a) Xét phương trình: \(|mx+3|=|-x+m|\)
                                    \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx+3 = -x+m           (1)\\mx+3=-(-x+m)     (2)\end{array} \right.\)
* \((1)\Leftrightarrow (m+1)x=m-3\)
      –   Với \(m\neq -1\) thì \((1)\) có nghiệm là \(x_1=\frac{m-3}{m+1}\)
      –   Với  \(m=-1\) thì \((1)\) trở thành \(0x=-4\) ( vô nghiệm )
* \((2)\Leftrightarrow (m-1)x=m-3\)
      –   Với Với \(m\neq 1\) thì \((2)\) có nghiệm là \(x_2=\frac{-m-3}{m-1}\)
      –   Với  \(m=1\) thì \((2)\) trở thành \(0x=-4\) ( vô nghiệm )
Nhận xét rằng : \(x_1=x_2\Leftrightarrow \frac{m-3}{m+1}=\frac{-m-3}{m-1}\)
\(\Leftrightarrow(m+3)(m-1)=(-m-3)(m+1)\)
 hay \(m^2-4m+3=-m^2-4m-3\)
 \(\Leftrightarrow2(m^2+3)=0\): vô nghiệm
 Vậy với mọi \(m\neq \pm1\) thì \(x_1\neq x_2\)
 Kết luận:
    * \( m\neq1\) và \(m\neq-1\):
        Phương trình có hai nghiệm \(x=\frac{m-3}{m+1}\) và \(x=\frac{-m-3}{m-1}\)
    * \( m=1\): Phương trình có 1 nghiệm \(x=-1\)
    * \( m=-1\):Phương trình có 1 nghiệm \(x=1\).
 b) Với phương trình: \(|2x+m-1|=||x|+m|\) ta xét 2 trường hợp:
         * \(x\geq0\): ta có \(|2x+m-1|=||x|+m|\)
             \(\Leftrightarrow|2x+m-1|=||x|+m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+m-1=x+m          (1)\\2x+m-1=-x-m     (2) \end{array} \right.\)
 Ta có: \((1)\Leftrightarrow x=1\) (thỏa mãn điều kiện\(x\geq0\)) và \((2)\Leftrightarrow x=\frac{1-2m}{3}\)
 Do điều kiện \(x\geq0\) nên \(\frac{1-2m}{3}\geq0\Leftrightarrow1-2m\geq0\Leftrightarrow m\leq \frac{1}{2}\)
         * Nếu \(x            \(\Leftrightarrow |2x+m-1|=|-x+m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x+m-1=-x+m     (3)\\2x+m-1=-x-m     (4)\end{array} \right.\)
 Ta có: \((3)\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}>0\) (loại);
             \((4)\Leftrightarrow x=1-2m\) do điều kiện \(x\frac{1}{2}\). Vậy
                  * \(m\leq \frac{1}{2}\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x=1\) và \(x=\frac{1-2m}{3}\)
                  * \(m> \frac{1}{2}\) thì phương trình có 2 nghiệm \(x=1\) và \(x=1-2m\)
 Nhận xét: Đối với các phương trình chứa giá trị tuyệt đối có dạng: \(|A|=|B|\) như trong bài này thì ta áp dụng tính chất:
        \(|A|=|B|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A=B\\A=-B\end{array} \right.\)