Giải và biện luận phương trình sau:  $\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=a$

Đề bài:

Giải và biện luận phương trình sau:  $\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=a$

Bài giải:

ĐKXĐ $\forall x$
Ta có $\sqrt{|x|+1}>\sqrt{|x|}, \forall x$ nên ta xét phương trình $\sqrt{|x|+1}-\sqrt{|x|}=a (*)$ trong các trường hợp sau
– Nếu $a\leq 0$ phương trình vô nghiệm
– Nếu $a>0$ thì $(*) \Leftrightarrow \sqrt{|x|+1}=\sqrt{|x|}+a$
Đặt $\sqrt{|x|}=y (y\geq 0)\Rightarrow |x|=y^{2} ,(*)\Leftrightarrow \sqrt{|x|+1}=\sqrt{y^{2}+1}$
Ta có phương trình
$\sqrt{y^{2}+1}=a+y\Leftrightarrow y^{2}+1=a^{2}+y^{2}+2ay \Leftrightarrow y=\frac{1-a^{2}}{2a}$( do 2 vế đều dương)
* Với $0$x=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}-a)^{2}, x=-\frac{1}{4}(\frac{1}{a}-a)^{2}$
* Với $a>1,yTóm lại
– Với $a\in (0;1] $ thì tập nghiệm của phương trình là
$\left\{ {\frac{1}{4}(\frac{1}{a}-a)^{2}, -\frac{1}{4}(\frac{1}{a}-a)^{2}} \right\}$
– Với $a\in (-\infty ;0]  \cup (1,+\infty)$ tập nghiệm của phương trình là $\varnothing$