Đề bài:
Giải và biện luận phương trình: $x + \sqrt {x + \frac{1}{2} + \sqrt {x + \frac{1}{4}} } = a$
Bài giải:
Điều kiện của nghiệm : $x + \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – \frac{1}{4}$.
Đặt $y = \sqrt {x + \frac{1}{4}} \ge 0 \Rightarrow x = {y^2} – 14,y \ge 0$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
${y^2} – \frac{1}{4} + \sqrt {{y^2} + \frac{1}{4} + y} = a,y \ge 0$
$ \Leftrightarrow {y^2} – \frac{1}{4} + \sqrt {{{\left( {{y^2} + \frac{1}{2}} \right)}^2}} = a,y \ge 0$
$ \Leftrightarrow {y^2} – \frac{1}{4} + y + \frac{1}{2} = a,y \ge 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = a,y \ge 0$
Do $y \ge 0$ nên:
Với $a Với $a \ge \frac{1}{4}:y = \sqrt a – \frac{1}{2} \Rightarrow x = {\left({\sqrt a – \frac{1}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} = a – \sqrt a $ (thỏa mãn điều kiện đặt ra)
Trả lời