Giải và biện luận phương trình: $x + \sqrt {x + \frac{1}{2} + \sqrt {x + \frac{1}{4}} }  = a$

Đề bài:

Giải và biện luận phương trình: $x + \sqrt {x + \frac{1}{2} + \sqrt {x + \frac{1}{4}} }  = a$

Bài giải:

Điều kiện của nghiệm : $x + \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – \frac{1}{4}$.
Đặt $y = \sqrt {x + \frac{1}{4}}  \ge 0 \Rightarrow x = {y^2} – 14,y \ge 0$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành
    ${y^2} – \frac{1}{4} + \sqrt {{y^2} + \frac{1}{4} + y}  = a,y \ge 0$
$ \Leftrightarrow {y^2} – \frac{1}{4} + \sqrt {{{\left( {{y^2} + \frac{1}{2}} \right)}^2}}  = a,y \ge 0$
$ \Leftrightarrow {y^2} – \frac{1}{4} + y + \frac{1}{2} = a,y \ge 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} = a,y \ge 0$

Do $y \ge 0$ nên:
Với $a Với $a \ge \frac{1}{4}:y = \sqrt a  – \frac{1}{2} \Rightarrow x = {\left({\sqrt a  – \frac{1}{2}} \right)^2} – \frac{1}{4} = a – \sqrt a $    (thỏa mãn điều kiện đặt ra)