Giải và biện luận tham số $a$ phương trình: $\sqrt {a + x}  = a – \sqrt {a – x} $

Đề bài:

Giải và biện luận tham số $a$ phương trình: $\sqrt {a + x}  = a – \sqrt {a – x} $

Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương với
    $\sqrt {x + a}  + \sqrt {a – x}  = a$                $(1)$
a) $a b) $a = 0$:  $(1)$ trở thành $\sqrt x  + \sqrt { – x}  = 0 \Leftrightarrow x = 0$
c) $a > 0$: Điều kiện của nghiệm : $ – a \le x \le a        (2)$
Cả hai vế của $(1)$ đều tương đương, bình phương và rút gọn ta có
    $(1) \Leftrightarrow 2\sqrt {{a^2} – {x^2}}  = a\left( {a – 2} \right)$            $(3)$
+)   Với $0 +)   Với $a \ge 2$
    $(3)  \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} – {x^2}} \right) = {a^2}{\left( {a – 2} \right)^2} \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = {a^3}\left( {4 – a} \right)        (4)$
   *)  $a > 4$: $(4)$ vô nghiệm $ \Rightarrow $ $(1)$ vô nghiệm
   *)   Với $2 \le a \le 4$ : $(4)  \Leftrightarrow x =  \pm a\sqrt {\frac{{a\left( {4 – a} \right)}}{2}} $                $(5)$
Từ $(4)$ ta có         $0 \le {x^2} = \frac{{{a^3}\left( {4 – a} \right)}}{4} \le {a^2}$                $(6)$
Thật vậy, $(6)$ $ \Leftrightarrow a\left( {4 – a} \right) \le 4 \Leftrightarrow {a^2} – 4{\rm{a}} + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} \ge 0$: đúng.
Vậy $(5)$ thỏa mãn $(2)$.