Giải và biện luận theo tham số $m$ phương trình: $\sqrt {{x^2} – 2mx + 1}  + 2 = m$

Đề bài:

Giải và biện luận theo tham số $m$ phương trình: $\sqrt {{x^2} – 2mx + 1}  + 2 = m$

Bài giải:

Phương trình đã cho tương đương với:  $\sqrt {{x^2} – 2m + 1}  = m – 2$                    $(1)$
a) $m b) $m \ge 2$
khi đó $(1)  \Leftrightarrow {x^2} – 2m{\rm{x}} + 1 = {\left( {m – 2} \right)^2}$
                   $ \Leftrightarrow {x^2} – 2m{\rm{x}} – \left( {m – 4m + 3} \right) = 0           (2)$
Ta có   ${\Delta ^’} = {m^2} + \left( {{m^2} – 4m + 3} \right) = 2{\left( {m – 1} \right)^2} + 1 > 0$
$ \Rightarrow  (2)$ có $2$ nghiệm:
${x_1} = m – \sqrt {2{m^2} – 4m + 3} ,    {x_2} = m + \sqrt {2{m^2} – 4m + 3} $