Đề bài:
Giải và biện luận theo tham số $m$ phương trình: $| x^2 + x + m| = – x^2 + x + 2$
Bài giải:
Điều kiện của nghiệm : $ – {x^2} + x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 2$. Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với.
$\begin{array}{l}
{\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} = \left( { – {x^2} + x + 2} \right) \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + m} \right)^2} – \left( { – {x^2} + x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2{{\rm{x}}^2} + m – 2} \right)\left( {2{\rm{x}} + m + 2} \right) = 0
\end{array}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + m + 2 = 0\\
2{{\rm{x}}^2} + m – 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – \frac{{m + 2}}{2}{\rm{ (1)}}\\
{x^2} = \frac{{2 – m}}{2}{\rm{ (2)}}
\end{array} \right.$
$(2)$ có nghiệm rằng $ \Leftrightarrow 2 – m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 2$. Khi đó nghiệm của $(2)$ là:
${x_1} = – \sqrt {\frac{{2 – m}}{2}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{{2 – m}}{2}} $
Dễ nhận thấy rằng ${x_2} \ge – 1,{x_1} \le 2$.
Do đó ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của phương trình đã cho ta cần có ${x_2} \le 2,{x_1} \ge – 1$
a) ${x_2} \le 2 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 – m}}{2}} \le 2 \Leftrightarrow \frac{{2 – m}}{2} \le 4 \Leftrightarrow – 6 \le m \le 2$
b) ${x_1} \ge – 1 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow – \sqrt {\frac{{2 – m}}{2}} \ge – 1 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{2 – m}}{2}} \le 1\\
\Leftrightarrow \frac{{2 – m}}{2} \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2
\end{array}$
để $(1)$ là nghiệm của phương trình đã cho ta cần có
$ – 1 \le – \frac{{m – 2}}{2} \le 2 \Leftrightarrow – 6 \le m \le 0$
Kí hiệu nghiệm này là ${x_3} = – \frac{{m + 2}}{2}$.
Vậy ta có:
i) $m 2$: phương trình đã cho vô nghiệm
ii) $m = – 6$: phương trình đã cho có một nghiệm kép ${x_2} = {x_3} = 2$
iii) $ – 6 iiii) $0 \le m \le 2$: phương trình đã cho có 3 nghiệm. ${x_1},{x_2},{x_3}$
Trả lời