Hãy xác định $m$ sao cho tổng bình phương các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất: $x^2 – (3m + 2)x – 3 – 2m = 0$

Đề bài:

Hãy xác định $m$ sao cho tổng bình phương các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất: $x^2 – (3m + 2)x – 3 – 2m = 0$

Bài giải:

Ta có: $\Delta  =(3m+2)^2+4(3+2m)= 9{m^2} + 20m + 16 > 0\forall m$
Vậy pt luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2$. Mặt khác ta có:
$\begin{array}{l}
T = x_1^2 + x_2^2 = {S^2} – 2P = 9{m^2} + 16m + 10\\
 \Rightarrow T = {\left( {3m + \frac{8}{3}} \right)^2} + \frac{{26}}{9} \ge \frac{{26}}{9}\end{array}$
$T_{min} =\frac{{26}}{9}\Leftrightarrow   m = -\frac{8}{9} $