TÌm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất\( |x^{2}+2mx+1|=x+1\)

Đề bài:

TÌm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất\( |x^{2}+2mx+1|=x+1\)

Bài giải:

Điều kiện: \( x\geq-1\)
Với điều kiện trên, \( |x^{2}+2mx+1|=x+1\)
 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x^{2}+2mx+1 =x+12\\ |x^{2}+2mx+1=-x-1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x^{2}+\left(2m-1\right)x=0  (1)\\ x^{2}+\left(2m+1\right)x+2=0(2)\end{array} \right.
\)
\((1)\) có hai nghiệm \(x_{1}=0, x_{2}=1-2m\)
khi \( 1-2m=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\) thì \((1)\) có nghiệm duy nhất \( x=0\)
thay \( m=\frac{1}{2}\) vào \((2)\):\( x^{2}+2x+2=0: \) vô nghiệm
khi \( x\neq\frac{1}{2}\)
nếu \(1-2m\geq-1\Leftrightarrow m\geq1:\) \((1)\) có hai nghiệm thỏa \( x\geq-1\)
nếu \(1-2m\leq-1\Leftrightarrow m\leq1:\) \((1)\) không nhận nghiệm \(x_{2}\)
 nhưng xét \((2)\) : \(x^{2}+\left(2m+1\right)x+2=0\)
đặt \(f(x) =x^{2}+\left(2m+1\right)x+2\) thì \( f\left(-1\right)=\left(-1\right)^{2}-2m-1+2=2\left(1-m\right)\leq0\) nếu \( m\leq1\)
lúc này \((2)\) có hai nghiệm là \(x_{3}, x_{4}\) và \( x_{3}\leq-1\leq x_{4}\): thêm nghiệm \(x_{4}\) thỏa mãn điều kiện \( x\geq-1\)
\( \Rightarrow m=\frac{-1}{2}\) là giá trị cần tìm để phương  trình có một nghiệm duy nhất.