Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^2} + x + 12\sqrt {x + 1}  = 36$

Đề bài:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: ${x^2} + x + 12\sqrt {x + 1}  = 36$

Bài giải:

Điều kiện của nghiệm : $x \ge – 1$. Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
${\left( {x + 1} \right)^2} – \left( {x + 1} \right) + 12\sqrt {x + 1}  – 36 = 0         (1)$

Đặt $t = \sqrt {x + 1}  \ge 0$, khi đó $(1)$ trở thành
      ${t^4} – {t^2} + 12t – 36 = 0 \Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {{t^3} + 2{t^2} + 3t + 18} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {t + 3} \right)\left( {{t^2} – t + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow t = – 3$ (loại),  $t = 2$
Với $t = 2$ ta có $\sqrt {x + 1}  = 2 \Leftrightarrow x = 3$

Đáp số : $x = 3$