Tìm các số nguyên $a$ và $b$ sao cho phương trình:$ae^x+b=e^{ax+b}          (1)     \forall x\in R$

Đề bài:

Tìm các số nguyên $a$ và $b$ sao cho phương trình:$ae^x+b=e^{ax+b}          (1)     \forall x\in R$

Bài giải:

+)Giả sử $(1)$ đúng $\forall x \in R$.
Khi đó cho $x = 0$ ta có $a + b = {e^b}$.
Vì $a,\,b \in Z\, \Rightarrow {e^b} \in Z$ vì $e$ là số vô tỉ, nên ${e^b} \in Z \Leftrightarrow b = 0$.
Từ đó $a+0=1\Rightarrow \begin{cases}a=1 \\ b=0 \end{cases}$

+)Đảo lại, với $a = 1,\,b = 0$ ta có $(1)$ trở thành ${e^x} = {e^x}$.
Phương trình này thỏa mãn $\forall x \in R$.

Vậy $\begin{cases}a=1 \\ b=0 \end{cases}$