Tìm giá trị của $m$ để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm: $(m+1)x^2-2x+m-1=0$.

Đề bài:

Tìm giá trị của $m$ để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm: $(m+1)x^2-2x+m-1=0$.

Bài giải:

* Khi $m+1=0\Leftrightarrow m=-1$ Phương trình đã cho có dạng;
$-2x-2=0\Leftrightarrow x=-1Vậy $m=-1$ không phải là giá trị cần tìm
* Khi $m\neq  1$, phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi:
Hoặc phương trình có hai nghiệm dương, tức là:
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta’\geq 0\\ S>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1-(m+1)(m-1)\geq 0\\ \frac{2}{m+1}>0  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2-m^2\geq0\\ m+1>0 \end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |m|\leq  \sqrt{2} \\ m>-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow -1Hoặc phương trình có một nghiệm âm và một nghiệm không âm, tức là:
$\left\{ \begin{array}{l}
\Delta’\geq0\\
P\leq  0\\

S|m|\leq  \sqrt{2} \\
\frac{m-1}{m+1}\leq  0 \\

m-\sqrt{2}\leq  m\leq  \sqrt{2}  \\
-1
mVậy giá trị $m$ cần tìm là $-1