Tìm $m$ để phương trình $3x^2+4(m-1)x+m^2-4m+1=0        (1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}(x_1+x_2)      (2)$

Đề bài:

 Tìm $m$ để phương trình $3x^2+4(m-1)x+m^2-4m+1=0        (1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thoả mãn $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}(x_1+x_2)      (2)$

Bài giải:

Gọi $\Delta’=4(m-1)^2-3(m^2-4m+1)=m^2+4m+1=(m+2)^2-3$
Gọi $S=x_1+x_2=\frac{4(1-m)}{3}, P=x_1x_2=\frac{m^2-4m+1}{3}$
Ta có: $(2)\Leftrightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{2} \Leftrightarrow \frac{S}{P}=\frac{S}{2} \Leftrightarrow S(\frac{1}{P}-\frac{1}{2})=0    (3)$
Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn $(3)$ khi và chỉ khi:
$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{S = 0}\\
{P \end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{P = 2}\\
{\Delta  \ge 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1-m=0}\\
{m^2-4m+1 \end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m^2-4m+1=2}\\
{m^2+4m+1  \ge 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m^2-4m-1=0}\\
{8m  \ge -2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 1}\\
{m = 2 \pm \sqrt 5 }
\end{array}} \right.$
  Tập hợp các giá trị phải tìm của $m$ là $\left\{ {m=1; m=2\pm \sqrt{5}} \right\}$