Đề bài:
Tìm $m$ để phương trình : $x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}) $ có nghiệm
Bài giải:
Điều kiện: $\begin{cases}x\geq 0 \\ x+12\geq 0 \\ 5-x\geq 0 \\ 4-x \geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow 0\leq x\leq 4 (1)$.
Viết lại phương trình dưới dạng:
$(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}) =m (2) $
Xét hàm số $y=f(x)=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x})$.
Miền xác định : $D=[0,4]$.
Nhận xét rằng :
– Hàm số $h(x)=x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}$ đồng biến trên $D$.
– Hàm số $g(x)=\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}$ có:
$g^'(x)=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}}{2\sqrt{5-x}.\sqrt{4-x}}>0, \forall x\in D\Rightarrow $là hàm đồng biến trên $D$.
$\Rightarrow $Hàm số $y=f(x)=h(x)g(x)$ là hàm đồng biến trên $D$.
Vậy ,phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$f(0)\leq m\leq f(4)\Leftrightarrow \sqrt{12}(\sqrt{5}-\sqrt{4})\leq m\leq 12$
Trả lời