Tìm $m$ để phương trình :   $x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})  $   có nghiệm

Đề bài:

Tìm $m$ để phương trình :   $x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})  $   có nghiệm

Bài giải:

Điều kiện:    $\begin{cases}x\geq 0 \\ x+12\geq 0 \\ 5-x\geq 0 \\ 4-x \geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow 0\leq x\leq 4        (1)$.
Viết lại phương trình dưới dạng:
     $(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}) =m   (2) $
Xét hàm số $y=f(x)=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x})$.
Miền xác định :  $D=[0,4]$.
Nhận xét rằng :
    – Hàm số $h(x)=x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}$  đồng biến trên $D$.
    – Hàm số $g(x)=\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}$ có:
                   $g^'(x)=\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}}{2\sqrt{5-x}.\sqrt{4-x}}>0, \forall x\in D\Rightarrow $là hàm đồng biến trên $D$.
$\Rightarrow $Hàm số $y=f(x)=h(x)g(x)$ là hàm đồng biến trên $D$.
Vậy ,phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
           $f(0)\leq m\leq f(4)\Leftrightarrow \sqrt{12}(\sqrt{5}-\sqrt{4})\leq m\leq 12$