Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y=x+\sqrt{y^2+2(x+1)y+4x}                   (1)$

Đề bài:

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y=x+\sqrt{y^2+2(x+1)y+4x}                   (1)$

Bài giải:

Điều kiện: $y \geq x                          (2)$
Viết lại: $(1) \Leftrightarrow y-x=\sqrt{y^2+2(x+1)y+4x}                                    (2)$
                    $\Rightarrow (x-y)^2=y^2+2(x+1)y+4x \Leftrightarrow x^2-4x=y(4x+2)                  (3)$
Điều kiện cần:
* Thấy rằng $4x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$. không là nghiệm của phương trình  $(3)$
$\Rightarrow y=\frac{x^2-4x}{4x+2} \Leftrightarrow y=\frac{x}{4}-\frac{9}{8}+\frac{9}{8(2x+1)} \Leftrightarrow 8y=2x-9+\frac{9}{2x+1}    (4)$
* $x$ nguyên , $y$ nguyên suy ra: $9 \vdots (2x+1) \Rightarrow (2x+1) \in \left\{ {\pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}$
Điều kiện đủ:
Ta có bảng sau

Từ kết quả trên của bảng, kết hợp với $(2)$ suy ra: Tập nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{{ x=y=0; x=y=-2} \right\}$