Tùy theo các giá trị của $a$, giải và biện luận phương trình : $[1+(a+2)^2]log_{3}(2x-x^2)+[1+(3a-1)^2]log_{11}(1-\frac{x^2}{2})=log_{3}(2x-x^2)+log_{11}(1-\frac{x^2}{2})$

Đề bài:

Tùy theo các giá trị của $a$, giải và biện luận phương trình : $[1+(a+2)^2]log_{3}(2x-x^2)+[1+(3a-1)^2]log_{11}(1-\frac{x^2}{2})=log_{3}(2x-x^2)+log_{11}(1-\frac{x^2}{2})$

Bài giải:

Điều kiện : $\left\{ \begin{array}{l}
2x – {x^2} > 0\\
1 – \frac{{{x^2}}}{2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 – \sqrt 2  \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 Ta có :
$\begin{array}{l}
2x – {x^2} = 2x – {x^2} – 1 + 1 = 1 – {\left( {x – 1} \right)^2} \le 1\\
 \Rightarrow {\log _3}\left( {2x – {x^2}} \right) \le 0\\
1 + {\left( {a + 2} \right)^2} \ge 1\\
 \Rightarrow \left[ {1 + {{\left( {a + 2} \right)}^2}} \right]{\log _3}\left( {2x – {x^2}} \right) \le

{\log _3}\left( {2x – {x^2}} \right) & \left( 2 \right)
\end{array}$
Tương tự : $[1+(3a-1)^2]log_{11}(1-\frac{x^2}{2})\leq log_{11}(1-\frac{x^2}{2})               (3)$
Cộng $(1)$ và $(2)$ theo vế ta có: vế trái của $(1)$ $ \le $vế phải của $(1)$
Phương trình $(1)$ luôn thỏa mãn khi các dấu bằng ở $(2)$ và $(3)$ xảy ra:
$(2)$xảy ra dấu = khi và chỉ khi
$\left[ \begin{array}{l}
{\log _3}\left( {2x – {x^2}} \right) = 0\\
1 + {\left( {a + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow a =  – 2
\end{array} \right.$
$(3)$ xảy ra dấu = khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}
1 + {\left( {3a – 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}\\
{\log _{11}}\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = 0
\end{array} \right.$
$(2)$ và $(3)$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  – 2\\
{\log _{11}}\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = 0
\end{array} \right.$
Hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3}\\
{\log _3}\left( {2x – {x^2}} \right) = 0
\end{array} \right.$
Chú ý rằng các hệ :
$\begin{cases}a=-2 \\ a=\frac{1}{3} \end{cases}$ và $\begin{cases}log_{3}(2x-x^2)=0 \\ log_{11}(1-\frac{x^2}{2})=0 \end{cases}$  đều vô nghiệm
Ta có:
+)${\log _{11}}\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 –

\frac{{{x^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (loại)
+)${\log _3}\left( {2x – {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – {x^2} = 3

\Leftrightarrow x = 1(TM)$

Kết luận:
+)$a \ne \frac{1}{3}$: phương trình vô nghiệm
+)$a = \frac{1}{3}$: phương trình có 1 nghiệm $x = 1$.