Xác định các giá trị của $k$  sao cho phương trình: $\log \left( x^2 + 2kx \right) – \log \left( 8x – 6k – 3 \right) = 0\,\,\left( 1 \right)$  có $1$ nghiệm duy nhất

Đề bài:

Xác định các giá trị của $k$  sao cho phương trình: $\log \left( x^2 + 2kx \right) – \log \left( 8x – 6k – 3 \right) = 0\,\,\left( 1 \right)$  có $1$ nghiệm duy nhất

Bài giải:

$(1)$ có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow $$(2)$ có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} > \frac{{6k +
3}}{8}$ hoặc $(2)$ có $2$ nghiệm sao cho ${x_1} \le \frac{{6k + 3}}{8}
* Trường hợp có nghiệm kép:
•   Ta có:
$\begin{array}{l}
•     \Delta ‘ = {k^2} – 14k + 13, & \Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   k = 1\\
   k = 13
   \end{array} \right.\\
    +k = 1 \Rightarrow x = 3
 \end{array}$
     + $ k=13\Rightarrow x=-9  (loai) $

* Trường hợp có $2$ nghiệm sao cho ${x_1} \le \frac{{6k + 3}}{8} :
$x_{1}\leq \frac{6k+3}{8}\frac{6k+3}{8}\end{cases}\end{array} \right.$  
$\begin{array}{l}
\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {6k + 3} \right)\left( {22k + 3} \right) – \frac{1}{2} \left( 4 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
k =  – \frac{1}{2}\\
k =  – \frac{3}{{22}}
\end{array} \right.\\
4 – k > \frac{{6k + 3}}{8}
\end{array} \right.
\end{array}$
Với  +$k=\frac{-1}{2}$ ta có:$4 – k = 4 + \frac{1}{2} > \frac{{6k + 3}}{8} = 0$
        +$k = \frac{3}{{22}}$ ta có : $4 + \frac{3}{{22}} > \frac{{\frac{{18}}{{22}} + 3}}{8}$
        +$k =  – \frac{1}{2}$ hoặc $k =  – \frac{3}{{22}}$ đều là nghiệm của $(4)$

Vậy: $k = 1$ hoặc $ – \frac{1}{2} \le k \le  – \frac{3}{{22}}$ thì phương trình có $1$ nghiệm duy nhất.