Chứng minh. Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 – Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

\(\sqrt {{{a + b} \over 2}}  \ge {{\sqrt a  + \sqrt b } \over 2}\)

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định

Ta có: 

\(\eqalign{

& {\left( {\sqrt a – \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr

& \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \)

\( \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab}  + {\left( {\sqrt b } \right)^2}\)

\(\eqalign{

& \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \cr

& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4} \cr} \)

\(\eqalign{

& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}} \cr

& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \cr} \)