Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích. Câu 33 trang 10 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 – Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:

a) \(\sqrt {{x^2} – 4}  + 2\sqrt {x – 2} \);

b) \(3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} – 9} \).

Gợi ý làm bài

a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} – 4}  + 2\sqrt {x – 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:

\({x^2} – 4 \ge 0\) và \(x – 2 \ge 0\)

Ta có: \({x^2} – 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x – 2) \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{

x + 2 \ge 0 \hfill \cr

x – 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{

x \ge – 2 \hfill \cr

x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)

Trường hợp 2: 

\(\left\{ \matrix{

x + 2 \le 0 \hfill \cr

x – 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{

x \le – 2 \hfill \cr

x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – 2\)

\(x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)

Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

\(\eqalign{

& \sqrt {{x^2} – 4} + 2\sqrt {x – 2} \cr

& = \sqrt {(x + 2)(x – 2)} + 2\sqrt {x – 2} \cr}\)

\(= \sqrt {x – 2} .\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)\)

b) Ta có: \(3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} – 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} – 9 \ge 0\)

Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

\({x^2} – 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x – 3) \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{

x + 3 \ge 0 \hfill \cr

x – 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{

x \ge – 3 \hfill \cr

x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

Trường hợp 2: 

\(\left\{ \matrix{

x + 3 \le 0 \hfill \cr

x – 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{

x \le – 3 \hfill \cr

x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – 3\)

Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích: 

\(\eqalign{

& 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} – 9} \cr

& = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x – 3)} \cr} \)

\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x – 3} } \right)\)