Đề bài: Với những giá trị nào của $y$ thì bất đẳng thức sau thỏa mãn $\forall x \in \,R\,$ : ${x^2}\left( {2 – {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) + 2x\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) – 2\left( {1 + {{\log }_2}\frac{y}{{y + 1}}} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ Bài giải: • Nếu ${\log _2}\frac{y}{{y […]
Bất phương trình
Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4
Đề bài: Tìm $m$ để bất phương trình sau có nghiệm: $x^2-2mx+2|x-m|+4 Bài giải: GiảiĐặt $t=|x-m| (t \geq 0)$ thì $x^2-2mx=t^2-m^2$ và $(1)$ được đưa về: $f(t)=t^2+2t+4-m^2Bất phương trình $(1)$ có nghiệm $\Leftrightarrow $ bất phương trình $(2)$ có nghiệm $t\in [0;+\infty)$Có hai trường hợp:– Trường hợp 1: $f(t)$ có nghiệm $t_1,t_2: 0\leq t_1– […]
Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$
Đề bài: Tìm $m$ để hệ: a)$\begin{cases}\frac{7}{6}x-\frac{1}{2}>\frac{3x}{2}-\frac{13}{3} \\ m^{2}x+1 \geq m^{4}-x \end{cases} $ có nghiệm b)$\begin{cases}x-2 \geq 0 \\ mx-4 \leq 0 \end{cases} $ có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng $5$ Bài giải: a) Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases}7x-3>9x-26 \\ (m^{2}+1)x\ge m^{4}-1 \end{cases} \Leftrightarrow […]
Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$
Đề bài: Cho bất phương trình $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq m-2x (1)$ a) Giải phương trình khi $m=8$b) Tìm $m$ để bất phương trình $(1)$ nghiệm đúng với $\forall x \in [1;5]$ Bài giải: a) Khi $m=8$, bất phương trình trở thành $\sqrt{-x^2+6x-5} \geq 8-2x (2)$ $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{cases}8-2x {\begin{cases}8-2x \geq 0 \\ -x^2+6x-5 \geq […]
Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $
Đề bài: Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm duy nhất: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+(y+1)^2\leq m (1)\\ (x+1)^2+y^2\leq m (2) \end{array} \right. $ Bài giải: Gọi $X_1, X_2$ lần lượt là nghiệm của $(1)$ và $(2)$Ta có:$X_1$ là tập các điểm trong hình tròn $(C_1)$ có tâm $I_1(0;-1)$ bán kính $R_1=\sqrt{m} $$X_2$ là tập các điểm […]
Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$
Đề bài: Giải bất phương trình $\frac{1}{1-x^2}>\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}-1$ Bài giải: Điều kiện của nghiệm : $1 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow \left| x \right| Bất phương trình đã cho tương đương với: $1 + \frac{1}{{1 – {x^2}}} > \frac{{3{\rm{x}}}}{{\sqrt {{\rm{1 – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}} }}$ a) $ – 1 b) $0 \frac{{3{\rm{x}}\sqrt {{\rm{1 – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}} }}{{{\rm{1 – }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}$$ […]
Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $
Đề bài: Giải bất phương trình:$ |x + 2| – |x – 1| < x - \frac{3}{2} $ Bài giải: Xét các khả năng sau :a. Nếu $ x Ta có : $ – \left( {x + 2} \right) – (1 – x) – \frac{3}{2} $ , loại b. Nếu $ – 2 \le […]
Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$
Đề bài: Tìm $m$ để bất phương trình:a) $m(x+1)+m^2x\leq 1+m $ có tập nghiệm là $R$b) $(m+1)x-m^2+m+6>0$ có tập nghiệm là $ \left\{ {x\in R|x>0} \right\}$c) $(m-2)x+7-6m>0$ có nghiệm với mọi $x\in [1;3]$ Bài giải: Thêm lời giải chi tiết
Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$
Đề bài: Giải các bất phương trình:a) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2}$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2$ Bài giải: Giảia) $\frac{3}{-2x+1}>\frac{5}{3x-2} \Leftrightarrow \frac{3}{-2x+1}-\frac{5}{3x-2}>0$ $\Leftrightarrow \frac{9x-6+10x-5}{(-2x+1)(3x-2)}>0 \Leftrightarrow \frac{19x-11}{(-2x+1)(3x-2)}>0$ Ta có: $ 19x-11=0 \Leftrightarrow x=\frac{11}{19}; -2x+1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}; 3x-2=0 \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$ Lập bảng xét dấu của $f(x)=\frac{19x-11}{(-2x+1)(3x-2)}$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f(x)>0$ là $T=(-\infty;\frac{1}{2}) \cup (\frac{11}{19};\frac{2}{3})$ b) $\frac{x^2-3x+10}{x^2-4}\leq 2 \Leftrightarrow \frac{x^2-3x+10}{x^2-4}-2\leq 0 \Leftrightarrow \frac{-x^2-3x+18}{x^2-4}\leq 2 \Leftrightarrow \frac{(x+6)(-x+3)}{(x-2)(x+2)}\leq […]
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+7} (1)$
Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{x+2y+1}{x^2+y^2+7} (1)$ Bài giải: Viết lại $(1) \Leftrightarrow Qx^2-x+Qy^2-2y+7Q-1=0 (2)$1) $Q=0 \Leftrightarrow x+2y+1=0 (3)$2) $Q\neq 0$ Xem $Q$ là phương trình bậc hai đối với $Q$Ta có: $\Delta_x=-4Q^2y^2+8Qy-28Q^2+4Q+1$Gọi $f(y)=-4Q^2y^2+8Qy-28Q^2+4Q+1, \Delta_y=4Q^2(-28Q+4Q+5)$Tập giá trị của $Q$ là nghiệm cả $\Delta_x \geq 0 […]