Đạo hàm

Cho $f(x)=x^{2}+3x+4$. Tính $f^{'}(2)$ Bài giải chi tiết: $f^{‘}(x)=2x+3$$\Rightarrow f^{‘}(2)=7$

Tìm $a$ sao cho biểu thức:  $ A = \cos 2x – a . \sin ^2 x+ 2 \cos ^2 x $  không phụ thuộc $x$. Bài giải chi tiết: Ta có:  $A$ không phụ thuộc $x \Leftrightarrow  A’_x = 0     \forall x $      $ \Leftrightarrow  -2 \sin2x – 2a.\cos x.\sin x-4 \sin […]

Tìm đạo hàm của hàm số: $y=f(x)=\begin{cases}1                                        với  x=0 \\ \frac{1-\cos x}{x}             với  x \neq  0\end{cases}$ Bài giải chi tiết: Ta có $f(0)=1$Ta lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}f(x) = […]

Tính đạo hàm của các hàm số sau:a) $y = (3x – 2)\ln^2x$;                                 b) $y = \sqrt{x^2 +1 }\ln x^2$ c) $y = x . \ln \frac{1}{1+x} $;                                         d) $y = \frac{\ln (x^2 + 1)}{x} $ Bài giải chi tiết: a) $y’ =(3x-2)’\ln^2 x+(3x-2)(\ln^2 x)’ =3\ln^2 x + \frac{2(3x – 2)}{x} \ln x$                                  b) $y’ […]

Tính đạo hàm theo cấp đã cho của hàm số sau:$f(x)=\sin 3x$$f^{"}(-\frac{\pi}{2}),f^{"}(0),f^{"}(\frac{\pi}{18})?$ Bài giải chi tiết: $f^{‘}(x)=3\cos x$$f^{“}(x)=-9\sin 3x$ Vậy $f^{“}(-\frac{\pi}{2})=-9\sin (-\frac{3\pi}{2})=-9$$f^{“}(0)=-9\sin 0=0$$f^{“}(\frac{\pi}{18})=-9\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{9}{2}$

Tính đạo hàm số cấp $n$ của hàm số:a) $y=\ln x$b) $y=\ln(x^2+x-2).$ Bài giải chi tiết: a) Ta có $y’=(\ln x)’=\frac{1}{x}, y”=-\frac{1}{x^2}, y”’=\frac{1.2}{x^3},  y^{(4)}=-\frac{1.2.3}{x^4}  $bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:$y^{(n)}=(-1)^{n+1.\frac{(n-1)!}{x^n} }, n\in \mathbb{Z} ^*$ b) Điều kiện $x1$ Với điều kiện trên thì $x^2+x-2=(x-1)(x+2)>0$, do đó:$y=\ln(x^2+x-2)\Leftrightarrow y=\ln |(x-1)(x+2)|$$\Leftrightarrow y=\ln |x-1|+\ln|x+2|$Như thế ta […]

Cho $f(x)=x^3$ và $g(x)=4x^2+\cos\pi x$.  Tính $\frac{f'(1)}{g'(1)}$ Bài giải chi tiết: Ta có:$f'(x)=3x^2;  f'(1)=3;  g'(x)=8x-\pi\sin\pi x;  g'(1)=8$  $\Rightarrow \frac{f'(1)}{g'(1)}=\frac{3}{8}$

Tìm đạo hàm của các hàm số:a) \(y=\cos^{3}(x^{2}+1)\)b) \(y=\cot (3x^{2}+\frac{x}{2})\). Bài giải chi tiết: a) \(y’=[\cos^{3}(x^{2}+1)]’=3\cos^{2}(x^{2}+1).[\cos (x^{2}+1)]’\)\(=-3\cos^{2}(x^{2}+1).\sin (x^{2}+1).[x^{2}+1]’\)\(=-6x\cos^{2}(x^{2}+1).\sin (x^{2}+1)\)b) \(y’=[\cot (3x^{2}+\frac{x}{2})]’=-\frac{(3x^{2}+\frac{x}{2})’}{\sin ^{2}(3x^{2}\frac{x}{2})}=-\frac{12x+1}{2\sin^{2}(3x^{2}+\frac{x}{2})}\).

Chứng minh rằng :$ n C^0_n – (n-1)C^1_n +(n-2)C^2_n-(n-3)C^3_n+…+(-1)^{n-1}C^{n-1}_n = 0, \forall n \in  N$ Bài giải chi tiết: Cần giải chi tiết

Chứng minh rằng hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho:$y=A\sin (\omega t+\varphi)+B\cos (\omega t+\varphi) $ thỏa mãn $y^{"}+\omega^{2} y=0$Trong đó $A,B,\omega ,\varphi$ là những hằng số Bài giải chi tiết: $y=A\sin (\omega t+\varphi)+B\cos (\omega t+\varphi) $ $y^{‘}=A\omega \cos (\omega t+\varphi)-B\omega \sin (\omega t+\varphi)$ $y^{“}=-A\omega^{2} \sin (\omega t+\varphi)-B\omega^{2}\cos (\omega t+\varphi)$ Ta có $VT=y^{“}+\omega^{2}y=-A\omega^{2} \sin (\omega […]