Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

+) Vì $x^{2}+2>0   \forall x\in R $ nên tập xác định của hàm số là: $R$Ta có: $y=\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+2}=\frac{2\left ( x^{2}+2 \right )-\left ( x-1 \right )^{2}}{x^{2}+2}=2-\frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{x^{2}+2}\leq 2, \forall x\in R$Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $2$ khi $x=1$. +) Ta lại có thể viết:$y=\frac{\frac{1}{2}x^{2}+1+\frac{1}{2}x^{2}+2x+2}{x^{2}+2}=\frac{\frac{1}{2}\left ( x^{2}+2 \right )+\frac{1}{2}\left ( x+2 \right […]

$\forall x$ ta có $-1\leq \sin x\leq 1\Leftrightarrow 0\leq 1+\sin x\leq2 $$\Leftrightarrow 0\leq \sqrt{1+\sin x}\leq\sqrt{2} -3\leq\sqrt{1+\sin x}-3 \leq\sqrt{2}-3\Leftrightarrow -3\leq y\leq \sqrt{2}-3$Vậy giá trị lớn nhất của $y$ là $\sqrt{2}-3$, đạt được khi:   $\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi(k\in Z)$Giá trị nhỏ nhất của $y$ là $-3$, đạt được khi:  $\sin x=-1\Leftrightarrow  x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi(k\in Z)$

$P=$ \(\cos A + \cos B + \cos C = 2\cos \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} + 1 – 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\)    \(= 1 + 2\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} + 1 – 2{\sin ^2}\frac{C}{2}\)    \(=1 + 2\sin \frac{C}{2}\left( {c{\rm{os}}\frac{{A – B}}{2} – c{\rm{os}}\frac{{A + B}}{2}} \right) = 1 + 4\sin \frac{C}{2}\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\)Từ đó: \(P […]

\(|x + 2y + 3z – 8|\)\( = |\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y – 2} \right) + 3\left( {z – 1} \right)| \le \sqrt {\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2} + {{\left( {z – 1} \right)}^2}} \right]} \)\( = \sqrt […]

$y=\frac{4x+3}{x^{2}+1}=\frac{-\left ( x^{2}+1 \right )+\left ( x^{2}+4x+4 \right )}{x^{2}+1}=\frac{4\left ( x^{2}+1 \right )-\left (4x^{2}-4x+1 \right )}{x^{2}+1}$$=-1+\frac{\left ( x+2 \right )^{2}}{x^{2}+1}=4-\frac{\left ( 2x-1 \right )^{2}}{x^{2}+1}$Suy ra, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $-1$ đạt được khi $x=-2$.Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $4$ đạt được khi $x=\frac{1}{2}$

\(y = {\sin ^6}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}x + {\rm{a}}\sin x\cos x =- \frac{3}{4}{\sin ^2}2x + \frac{a}{2}\sin 2x + 1\) Đặt \(t = \sin 2x\left( { – 1 \le t \le 1} \right)\), khi đó:\(y = f\left( t \right) =  – \frac{3}{4}{t^2} + \frac{a}{2}t + 1\,\,\,\left( {t \in \left[ { – 1,\,1} \right]} \right)\) \(\Rightarrow f’\left( t […]

\(y = \frac{{3{x^2} + 10x + 20}}{{{x^2} + 2x + 3}} \Leftrightarrow \left( {y – 3} \right){x^2} + \left( {2y – 10} \right)x + 3y – 20 = 0\)\(\Delta ‘ = {\left( {y – 5} \right)^2} – \left( {y – 3} \right)\left( {3y – 20} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le y \le 7\)Thử lại […]

GiảiHàm số xác định khi $x(x-a) \geq 0$Đặt $z=\frac{12x(x-a)}{x^2+36}   (1)$ thì $y=\sqrt[4]{z^3}$ và $z \geq 0$Ta tìm $\max z$$z_0$ thuộc miền giá trị của hàm số $(1)$ khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm: $z_0=\frac{12x(x-a)}{x^2+36}$                               $\Leftrightarrow (12-z_0)x^2-12ax-36z_0=0$ có nghiệm $(2)$* $z_0=12 : (2) \Leftrightarrow ax=-36$ có nghiệm khi $a\neq0$* $z_0\neq 12 : (2)$ […]

 GiảiTập xác định: $D=R$$y_0$ thuộc miền giá trị của hàm số khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm:      $y_0=\frac{ax+b}{x^2+1} \Leftrightarrow y_0x^2-ax+y_0-b=0    (1)$ –  Nếu $y_0=0$ thì $(1) \Leftrightarrow ax=-b$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =b= 0\\a\neq 0\end{array} \right. $–  Nếu $y_0\neq 0$ thì $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:         $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow […]

  Ta có: $\begin{cases}a^2+b^2+6=4(a+b) \\ c^2+d^2+64=12(c+d) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(a-2)^2+(b-2)^2=2 \\ (c-6)^2+(d-6)^2=8 \end{cases}$  (I)Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ Xét hai điểm $M(a;b), N(c;d)$, với $a,b,c,d$ thỏa mãn (I), ta thấy $M$ và $N$ lần lượt di động trên đường tròn $(C_1)$ tâm $I(2;2)$ bán kính $R_1= \sqrt{2}$ và đường tròn $(C_2)$ tâm $J(6;6)$ bán kính […]