Ta có: \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\)Theo định lý hàm số Côsin:\(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - \dfrac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{2bc}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}} \ge \dfrac{{2bc}}{{4bc}} = \dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow A \le {60^0}\) (ĐPCM) … [Đọc thêm...] vềCho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
Hệ thức lượng trong tam giác
Giả sử các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn đẳng thức: \(\cos A + \cos B + \cos C = 2\left( {\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A} \right)\) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều.
Trước hết ta nhận xét rằng trong mọi tam giác luôn có đẳng thức quen thuộc: \(0 Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \Delta ABC\)đềuDễ thấy \(xy + yz + zx \le {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ }}\forall x,y,z\) (đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z)\)\( \Rightarrow 3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {\left( {x + y + z} \right)^2}\)Do đó: \(3\left( {\cos A\cos B + \cos … [Đọc thêm...] vềGiả sử các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn đẳng thức: \(\cos A + \cos B + \cos C = 2\left( {\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A} \right)\) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều.
Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} = \frac{1}{{2\cos A\cos B\cos C}}\)CMR: tam giác $ABC$ đều
Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} \ge \frac{2}{{\sin 2A\sin 2B}}\) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} \ge \frac{2}{{\sin 2B\sin 2C}}\) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} \ge \frac{2}{{\sin 2C\sin 2A}}\)$\Rightarrow $ VT \( \ge \frac{1}{{\sin 2A\sin 2B}} + \frac{1}{{\sin 2B\sin 2C}} + … [Đọc thêm...] vềCho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} = \frac{1}{{2\cos A\cos B\cos C}}\)CMR: tam giác $ABC$ đều
Chứng minh rằng nếu $\Delta ABC$ nhọn thì: $\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức dạng $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y} \ge \frac{4}{X+Y} \forall X, Y > 0$ta có: $\frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{4}{{\cos B + \cos C}} = \frac{4}{{2\cos \frac{{B - C}}{2}\cos \frac{{B + C}}{2}}} \ge \frac{4}{{2\cos \frac{{B + C}}{2}}} = \frac{2}{{\sin \frac{A}{2}}}$Tương tự, $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos C}} + \frac{1}{{\cos A}} \ge … [Đọc thêm...] vềChứng minh rằng nếu $\Delta ABC$ nhọn thì: $\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Chứng minh trong tam giác $ABC$ ta có : $\left( {b – c} \right)\cot \frac{A}{2} + \left( {c – a} \right)\cot \frac{B}{2} + \left( {a – b} \right)\cot \frac{C}{2} = 0$
Giả sử đường tròn $\left( {O;r} \right)$ nội tiếp $\Delta $$ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $I$. Ta có: $\begin{array}{l}a = BI + IC= r\left( {\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)\end{array}$Tương tự ta có:$\begin{array}{l}b = r\left( {\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}} \right) \Rightarrow \left( {a - b} \right)\cot \frac{C}{2} = r\left( {\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} … [Đọc thêm...] vềChứng minh trong tam giác $ABC$ ta có : $\left( {b – c} \right)\cot \frac{A}{2} + \left( {c – a} \right)\cot \frac{B}{2} + \left( {a – b} \right)\cot \frac{C}{2} = 0$
Cho $\Delta ABC$ tù. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} < \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Giả sử, chẳng hạn $A > {90^\circ}$ ta có $\cos A $ \Rightarrow \frac{1}{{\cos A}} $\begin{array}{l}A > {90^\circ} \Rightarrow B + C B C \end{array} \right.\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B > c{\rm{os}}\left( {{{90}^\circ} - \frac{C}{2}} \right) = \sin \frac{C}{2}\\\cos C > c{\rm{os}}\left( {{{90}^\circ} - \frac{B}{2}} \right) = \sin \frac{B}{2}\end{array} … [Đọc thêm...] vềCho $\Delta ABC$ tù. Chứng minh rằng : $\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} < \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{8}$
Vẽ phân giác $AD$, hạ $BH$, $CK$ vuông góc với $AD$Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sin \frac{A}{2} = \frac{{BH}}{{BA}} \le \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{{BD}}{c}\\\sin \frac{A}{2} = \frac{{CK}}{{CA}} \le \frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CD}}{b}\end{array} \right.$$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {b + c} \right)\sin \frac{A}{2} \le BD + CD = a\\ \Rightarrow \sin \frac{A}{2} \le … [Đọc thêm...] vềCho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: $\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le \frac{1}{8}$
Cho tam giác nhọn $ABC$ có các trung tuyến $BM,CN$ vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: $\cot B + \cot C \ge \frac{2}{3}$
Vẽ đường cao $AH$, trung tuyến $AP$ và gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.$ \Rightarrow H, G$ thuộc đoạn $BC$.Khi đó $\begin{array}{l}\cot B + \cot C = \frac{{BH}}{{AH}} + \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AH}} \ge \frac{{BC}}{{AP}} = \frac{{2GP}}{{3GP}} = \frac{2}{3}\end{array}$ Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow AH = AP$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$. … [Đọc thêm...] vềCho tam giác nhọn $ABC$ có các trung tuyến $BM,CN$ vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: $\cot B + \cot C \ge \frac{2}{3}$
Cho tam giác $ABC$, đường cao $AA’, H$ là trực tâm. Biết rằng $AH = A’H$. Chứng minh rằng : $tanB.tanC = 2$
Dễ thấy $\Delta ABC$ nhọn vì nếu $\Delta ABC$ tù hoặc vuông thì $AH \ne A'H$. Nên ta có :$\begin{array}{l}\tan B .\tan C = \tan\widehat {ABA'}.\tan\widehat {BHA'}= \frac{{{\rm{AA}}'}}{{BA'}}.\frac{{BA'}}{{HA'}}= \frac{{{\rm{AA}}'}}{{HA'}}= 2\end{array}$ … [Đọc thêm...] vềCho tam giác $ABC$, đường cao $AA’, H$ là trực tâm. Biết rằng $AH = A’H$. Chứng minh rằng : $tanB.tanC = 2$
Biết $tan \alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $A = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha – 3{\cos ^2}\alpha $
Ta có : $\frac{A}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} + 2.\frac{{\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha }}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} - 3$$\begin{array}{l} \Rightarrow A\left( {1 + \tan^2\alpha } \right) = \tan^2\alpha + 2\tan\alpha - 3\\ \Rightarrow {\rm A} = \frac{{\tan^2\alpha + 2\tan\alpha - 3}}{{1 + \tan^2\alpha … [Đọc thêm...] vềBiết $tan \alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $A = {\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha .\cos \alpha – 3{\cos ^2}\alpha $