Ta có: \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2{a^2}\)Theo định lý hàm số Côsin:\(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - \dfrac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}{{2bc}} = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{{4bc}} \ge \dfrac{{2bc}}{{4bc}} = \dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow A \le {60^0}\) (ĐPCM) … [Đọc thêm...] vềCho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \({\sin ^2}B + {\sin ^2}C = 2{\sin ^2}A\)Chứng minh rằng \(A \le {60^{0}}\)
Hệ thức lượng trong tam giác
Giả sử các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn đẳng thức: \(\cos A + \cos B + \cos C = 2\left( {\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A} \right)\) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều.
Trước hết ta nhận xét rằng trong mọi tam giác luôn có đẳng thức quen thuộc: \(0 Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \Delta ABC\)đềuDễ thấy \(xy + yz + zx \le {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{ }}\forall x,y,z\) (đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z)\)\( \Rightarrow 3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {\left( {x + y + z} \right)^2}\)Do đó: \(3\left( {\cos A\cos B + \cos … [Đọc thêm...] vềGiả sử các góc $A, B, C$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn đẳng thức: \(\cos A + \cos B + \cos C = 2\left( {\cos A\cos B + \cos B\cos C + \cos C\cos A} \right)\) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều.
Cho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} = \frac{1}{{2\cos A\cos B\cos C}}\)CMR: tam giác $ABC$ đều
Ta có \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} \ge \frac{2}{{\sin 2A\sin 2B}}\) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} \ge \frac{2}{{\sin 2B\sin 2C}}\) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} \ge \frac{2}{{\sin 2C\sin 2A}}\)$\Rightarrow $ VT \( \ge \frac{1}{{\sin 2A\sin 2B}} + \frac{1}{{\sin 2B\sin 2C}} + … [Đọc thêm...] vềCho tam giác $ABC$ có các góc $A, B, C$ thỏa mãn hệ thức \(\frac{1}{{{{\sin }^2}2A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2B}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}2C}} = \frac{1}{{2\cos A\cos B\cos C}}\)CMR: tam giác $ABC$ đều
Chứng minh rằng nếu $\Delta ABC$ nhọn thì: $\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức dạng $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y} \ge \frac{4}{X+Y} \forall X, Y > 0$ta có: $\frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{4}{{\cos B + \cos C}} = \frac{4}{{2\cos \frac{{B - C}}{2}\cos \frac{{B + C}}{2}}} \ge \frac{4}{{2\cos \frac{{B + C}}{2}}} = \frac{2}{{\sin \frac{A}{2}}}$Tương tự, $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{\cos C}} + \frac{1}{{\cos A}} \ge … [Đọc thêm...] vềChứng minh rằng nếu $\Delta ABC$ nhọn thì: $\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
Chứng minh trong tam giác $ABC$ ta có : $\left( {b – c} \right)\cot \frac{A}{2} + \left( {c – a} \right)\cot \frac{B}{2} + \left( {a – b} \right)\cot \frac{C}{2} = 0$
Giả sử đường tròn $\left( {O;r} \right)$ nội tiếp $\Delta $$ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $I$. Ta có: $\begin{array}{l}a = BI + IC= r\left( {\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2}} \right)\end{array}$Tương tự ta có:$\begin{array}{l}b = r\left( {\cot \frac{C}{2} + \cot \frac{A}{2}} \right) \Rightarrow \left( {a - b} \right)\cot \frac{C}{2} = r\left( {\cot \frac{B}{2}\cot \frac{C}{2} … [Đọc thêm...] vềChứng minh trong tam giác $ABC$ ta có : $\left( {b – c} \right)\cot \frac{A}{2} + \left( {c – a} \right)\cot \frac{B}{2} + \left( {a – b} \right)\cot \frac{C}{2} = 0$