Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 3

Sử dụng kiến thức về dấu của các giá trị lượng giác.

Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ I thì: \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha > 0\)

Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ II thì: \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\)

Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ III thì: \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0\)

Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ IV thì: \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha > 0\)

Ta có: Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ I thì: \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha > 0\)

Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ II thì: \(\sin \alpha > 0,\cos \alpha < 0\)

Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ III thì: \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0\)

Với \(\alpha \in \) góc phần tư thứ IV thì: \(\sin \alpha < 0,\cos \alpha > 0\)

Do đó, M thuộc góc phần tư thứ (II) và (IV) thì \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) trái dấu.

Sử dụng kiến thức về dấu của giá trị lượng giác: Với \({90^0} < \alpha < {180^0}\) thì \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha < 0,\tan \alpha < 0,\cot \alpha < 0\).

Với \({90^0} < \alpha < {180^0}\) thì \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha < 0,\tan \alpha < 0,\cot \alpha < 0\).

Sử dụng kiến thức về tập giá trị của hàm số \(y = \sin x\): \( - 1 \le \sin x \le 1\)

Vì \( - 1 \le \sin \alpha \le 1\) nên \(\sin \alpha \) không thể nhận giá trị 1,2.

Sử dụng kiến thức về hàm số chẵn: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi \(x \in D\) ta có \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Vì \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\) nên hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Sử kiến thức về tập xác định của hàm số \(y = \sin x\): Hàm số \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Hàm số \(y = 2\sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Sử dụng kiến thức về dãy số giảm: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có: \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có: \({u_{n + 1}} < {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Tức là: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Sử dụng kiến thức về cách cho một dãy số bằng phương pháp mô tả.

Vì \(5 \vdots 5\) nên 5 thuộc dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Sử dụng kiến thức về cấp số cộng: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Xét dãy số: 0; 3; 6; 9; … ta thấy: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 3 nên dãy số 0; 3; 6; 9; … có công sai bằng 3.

Sử dụng quy tắc về giới hạn dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} - 6} \right) = 2 - 6 = - 4\)

Sử dụng kiến thức giới hạn dãy số: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\left( {\left| q \right| < 1} \right)\) nên C là câu sai.

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của hàm số liên tục: Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_o}\). Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_o}\) nếu \(g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\).

Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_o}\). Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_o}\) nếu \(g\left( {{x_0}} \right) \ne 0\).

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \) với k là số nguyên dương.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^5} = + \infty \)

Sử dụng kiến thức về cách xác định một mặt phẳng: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Sử dụng kiến thức điểm thuộc mặt phẳng.

Hai điểm S và B cùng thuộc 2 mặt phẳng (SAB) và (SBD).

Sử dụng kiến thức về vị trí hai đường thẳng song song.

Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

Sử dụng kiến thức về hình hộp: Hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có bốn mặt bên là ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, ADD’A’.

Hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có bốn mặt bên là ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, ADD’A’.

Sử dụng kiến thức về hình lăng trụ.

Trong hình lăng trụ, các mặt bên có thể không bằng nhau.

Ví dụ: Hình lăng trụ dưới đây có các mặt bên không bằng nhau

Sử dụng kiến thức về phép chiếu song song.

Qua phép chiếu song song, tính chất chéo nhau không được bảo toàn.

Sử dụng công thức: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\).

\(\frac{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{3\sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{2\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{3\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\tan \alpha + 2}}{{3\tan \alpha - 1}} = \frac{{2 + 2}}{{3.2 - 1}} = \frac{4}{5}\)

Sử dụng công thức \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \)

Vì \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi \Rightarrow \frac{{\widehat A + \widehat B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{\widehat C}}{2}\). Do đó: \(\sin \frac{{A + B}}{2} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}\)

Sử dụng kiến thức về tập xác định của hàm số: Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.

Hàm số \(y = \frac{{2\sin x}}{{\sin x - \cos x}}\) xác định khi \(\sin x - \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Thay \({u_n} = \frac{{167}}{{84}}\) vào số hạng tổng quát rồi tìm n.

Ta có: \(\frac{{167}}{{84}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} \Leftrightarrow 84\left( {2n + 1} \right) = 167\left( {n + 2} \right) \Leftrightarrow 168n + 84 = 167n + 334 \Leftrightarrow n = 250\)

Do đó, số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ 250 của dãy số.

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d\\{u_4} = {u_1} + 3d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 = {u_1} + d\\12 = {u_1} + 3d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 6\\d = 2\end{array} \right.\)

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số cộng là \({u_1} = 6\).

Sử dụng kiến thức về công thức tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q \ne 1\) thì \(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Cấp số nhân trên có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\). Do đó: \(S = \frac{{1.\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{1\;023}}{{512}}\)

Sử dụng kiến thức giới hạn hàm số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = L > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = + \infty \).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3{x^4} - 2{x^2} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4}\left( {3 - \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3 - \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} \right) = 3 > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4}\left( {3 - \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \)

Sử dụng quy tắc về giới hạn của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{{4.3}^n} + {2^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{4 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}} = \frac{1}{4}\)

Sử dụng kiến thức về tính liên tục của hàm số sơ cấp cơ bản: Hàm phân thức hữu tỉ (thương là hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Hàm số f(x) xác định khi \({x^3} - x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm 1\end{array} \right.\)

Do đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\)

Vậy hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{4}\)

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng cắt nhau.

Vì hai đường thẳng SD và BK cùng nằm trong mặt phẳng (SBD) nên đường thẳng SD cắt đường thẳng BK.

Sử dụng kiến thức về tính chất của hai đường thẳng song song: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD.

Do đó, MN//AD. Mà AD// CB nên MN//BC

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó và kí hiệu là \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Ta có: S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vì O là giao điểm của AC và BD nên O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO.

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\): Hàm số \(f\left( x \right) = mx + 3\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

Khi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\): Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Tại \(x = 1\):

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1 - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{3}{3} = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3\), \(f\left( 1 \right) = m + 3\)

Hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \) hàm số f(x) liên tục tại \(x = 1\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

Tức là: \(m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Vì (P) qua M và song song với AB nên \(\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\), với N là giao điểm của đường thẳng qua M song song với AB và cạnh AC.

Vì (P) qua N và song song với CD nên \(\left( P \right) \cap \left( {ACD} \right) = NP\), với P là giao điểm của đường thẳng qua N song song với CD và cạnh AD.

Vì (P) qua M và song song với CD nên \(\left( P \right) \cap \left( {BCD} \right) = MQ\), với Q là giao điểm của đường thẳng qua M song song với CD và cạnh BD.

Do đó, thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là tứ giác MNPQ.

Ta có: MN//PQ, \(MN = PQ = \frac{1}{2}AB\), MQ//PN, \(MQ = PN = \frac{1}{2}DC\), \(AB = CD\)

Do đó, \(MN = NP = PQ = QM\) nên tứ giác MNPQ là hình thoi.

Sử dụng kiến thức công thức: \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\)

Ta có: \(y = 2{\cos ^2}x + 5\sin x + 1 = 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x + 1 = - 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 3\) (1)

Đặt \(\sin x = t\). Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) nên \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).

Thay \(\sin x = t\) vào (1) ta có: \(y = - 2{t^2} + 5t + 3\) với \(t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\)

Ta có bảng:

Từ bảng ta có:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là 6 khi \(t = 1\) hay \(x = \frac{\pi }{2}\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là 5 khi \(t = \frac{1}{2}\) hay \(x = \frac{{5\pi }}{6}\)

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của dãy số.

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {2{u_n} + \frac{3}{{n + 2}} - \frac{2}{{n + 1}}} \right) = \frac{2}{3}{u_n} + \frac{1}{{n + 2}} - \frac{2}{3}.\frac{1}{{n + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} = \frac{2}{3}\left( {{u_n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right)\) (1)

Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{{n + 1}}\), từ (1) suy ra \({v_{n + 1}} = \frac{2}{3}{v_n}\)

Do đó, \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({v_1} = {u_1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), công bội \(q = \frac{2}{3}\)

Suy ra: \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {u_n} - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - 1}} + \frac{1}{{n + 1}}\)

Vậy \({u_{2020}} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2019}} + \frac{1}{{2021}} = \frac{{{2^{2018}}}}{{{3^{2019}}}} + \frac{1}{{2021}}\)