Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tổng quan nội dung
Hướng Dẫn Giải: Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều (Môn Toán học Lớp 11)
Bạn đang theo dõi phần hướng dẫn giải chi tiết và chuyên sâu dành riêng cho bài học Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều. Đây là một nội dung học tập quan trọng nằm trong chương trình môn Toán học của học sinh lớp 11, được trích xuất từ bộ SGK chuẩn . Trong bài học này, chúng tôi không chỉ cung cấp đáp án chính xác cho các câu hỏi phần lý thuyết, mà còn giải mã cặn kẽ từng bài tập tự luận và trắc nghiệm nằm ở cuối bài. Mỗi bước biến đổi công thức, mỗi luận điểm đưa ra đều được đội ngũ giáo viên phân tích rõ ràng, giúp học sinh nắm bắt được phương pháp tư duy và áp dụng thành thạo cho các dạng bài kiểm tra tương tự. Hãy cùng chuẩn bị vở nháp và theo dõi sát sao từng bước giải dưới đây để củng cố vững chắc kiến thức của bạn nhé.
Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm
Đề bài
Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao 8 cm (hình vẽ a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài \(n\) (cm), miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài \(2n\) (cm) (hình vẽ b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi \(\frac{1}{4}\) so với ban đầu. Tính thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Do khi đổ nước từ khay nước a sang khay nước b, ta thấy tổng thể tích nước ở hai khay không thay đổi, do đó ta có thể tính được lượng nước đã đổ sang khay b.
Do chiều cao mực nước của khay b cao bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao khay b, nên có thể coi “hình dạng” của nước trong khay b là một khối chóp cụt tứ giác đều, nên ta có thể gọi chiều cao của nước trong khay b là \(h\), và tính diện tích đáy còn lại của khối chóp này. Lúc này ta sẽ tính dược tích \({n^2}h\), từ đó có thể tính được thể tích của khay b.
Lời giải chi tiết
Ban đầu, thể tích nước có ở trong khay a là \(8.20.10 = 1600{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\).
Sau khi đổ nước sang khay thứ hai, ta thấy rằng lượng nước trong khay a giảm đi \(\frac{1}{4}\) so với ban đầu, cho nên ta suy ra lượng nước có ở trong khay b bằng \(\frac{1}{4}\) lượng nước ban đầu có ở trong khay a.
Thể tích nước trong khay b là \(1600.\frac{1}{4} = 400{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\).
Giả sử khay b có hình dạng chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ dưới đây (với \(A'B'C'D'\) là đáy bé).
Xét hình thang cân \(ACC'A'\), gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu của \(A'\) và \(C'\) trên \(AC\). Trên \(C'K\), lấy điểm \(P\) sao cho \(\frac{{C'P}}{{C'K}} = \frac{2}{3}\). Đường thẳng qua \(P\) và song song với \(AC\) cắt \(AA'\), \(A'H\), \(C'C\) lần lượt tại \(M\), \(N\) và \(Q\).
Do chiều cao mực nước trong khay b bằng \(\frac{2}{3}\) chiều cao khay, nên ta có thể coi \(C'P\) chính là chiều cao nước trong khay.
Gọi chiều cao của khay b là \(h{\rm{ }}\left( {cm} \right)\). Theo hình vẽ, ta thấy rằng \(A'H = C'K = h\). Suy ra \(C'P = \frac{2}{3}h\), có nghĩa chiều cao nước trong khay b là \(\frac{2}{3}h\).
Do \(AC = 2n\), \(A'C' = n\) và \(AH = CK\), nên ta suy ra \(AH = CK = \frac{n}{2}\) và \(HK = NP = n\).
Tam giác \(A'AH\) có \(MN\parallel AH\), nên theo định lí Thales, ta có:
\(\frac{{MN}}{{AH}} = \frac{{A'N}}{{AH}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN = \frac{2}{3}AH = \frac{n}{3}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(PQ = \frac{n}{3}\). Do đó \(MQ = n + \frac{n}{3} + \frac{n}{3} = \frac{{5n}}{3}\).
Vậy nước trong khay b có dạng hình chóp cụt tứ giác đều, với hai đáy là các hình vuông có đường chéo lần lượt là \(n\) và \(\frac{{5n}}{3}\). Do đó, thể tích nước trong khay b là:
\(V = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3}h} \right)\left( {\frac{{{n^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{n^2}}}{2}.\frac{{{{\left( {\frac{{5n}}{3}} \right)}^2}}}{2}} + \frac{{{{\left( {\frac{{5n}}{3}} \right)}^2}}}{2}} \right) = \frac{{49}}{{81}}{n^2}h\).
Mà thể tích nước trong khay là \(400{\rm{ }}c{m^3}\), nên ta có \(\frac{{49}}{{81}}{n^2}h = 400 \Rightarrow {n^2}h = \frac{{32400}}{{49}}\).
Vậy thể tích khay b là:
\(V = \frac{1}{3}h\left( {\frac{{{n^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{n^2}}}{2}.\frac{{{{\left( {2n} \right)}^2}}}{2}} + \frac{{{{\left( {2n} \right)}^2}}}{2}} \right) = \frac{7}{6}{n^2}h = \frac{7}{6}.\frac{{32400}}{{49}} = \frac{{5400}}{7}{\rm{ }}\left( {c{m^3}} \right)\).
Trọng Tâm Kiến Thức Cần Nắm Trong Bài Học Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Bài học Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều mang đến những khái niệm mới có tính bản lề, đóng vai trò kết nối kiến thức của chương trước và mở ra tư duy cho những bài học tiếp theo trong môn Toán học. Đối với học sinh lớp 11, việc vượt qua những rào cản nhận thức ban đầu là vô cùng quan trọng. Trước khi bắt tay vào giải bài tập phần "Vận dụng", học sinh cần phải thực sự hiểu rõ và ghi nhớ các định nghĩa, định lý hay các quy luật xã hội đã được trình bày trong sách . Đội ngũ biên soạn của chúng tôi đã cẩn thận tổng hợp lại những điểm mù kiến thức mà học sinh thường hay nhầm lẫn nhất ở phần đầu của lời giải. Bằng cách ôn tập lại lý thuyết thông qua phần tóm tắt này, bạn sẽ xây dựng được một nền móng vững chãi, từ đó việc giải quyết các câu hỏi thực hành phức tạp phía sau sẽ trở nên nhẹ nhàng và logic hơn rất nhiều.
Phân Tích Chuyên Sâu Từng Bước Giải Bài Tập (Step-by-step Solution)
Sự khác biệt lớn nhất của một bài hướng dẫn giải chuẩn mực so với một cuốn sách bài giải thông thường trên thị trường chính là tính tương tác và độ chi tiết. Đối với các câu hỏi trong bài Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều, chúng tôi áp dụng mô hình phân tích 3 bước (3-Step Analysis) vô cùng chặt chẽ:
- Bước 1 - Khai thác giả thiết: Phân tích đề bài xem đề bài đã cho chúng ta những dữ kiện định lượng/định tính nào. Việc tóm tắt đề bài một cách khoa học giúp loại bỏ các thông tin nhiễu không cần thiết.
- Bước 2 - Lựa chọn công cụ giải (Phương pháp): Dựa vào đặc điểm của môn Toán học lớp 11, chúng tôi sẽ chỉ ra rõ tại sao lại sử dụng công thức này mà không dùng công thức khác, hay tại sao lại phải phân tích vấn đề theo hướng này.
- Bước 3 - Triển khai và Biện luận kết quả: Trình bày chi tiết từng dòng tính toán, từng câu lập luận để đi đến kết quả cuối cùng. Đặc biệt, chúng tôi luôn có phần kiểm tra lại (check) để chắc chắn kết quả tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Gợi Ý Các Mẹo Giải Nhanh Và Mở Rộng Kiến Thức Thực Tiễn
Sau khi đã nắm vững phương pháp giải bài bản, tự luận, học sinh cần được rèn luyện thêm các kỹ năng xử lý tình huống nhanh để phục vụ cho các bài thi trắc nghiệm khách quan. Trong phần mở rộng của bài Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều, chúng tôi thường xuyên cung cấp các "mẹo" (tips) hoặc công thức tính nhẩm nhanh, hướng dẫn bấm máy tính cầm tay (Casio) cực kỳ hữu ích. Hơn nữa, vì bộ sách luôn đề cao triết lý "mang cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống", các giáo viên của chúng tôi sẽ cố gắng liên hệ kết quả của bài toán, bài văn với những hiện tượng thực tiễn xảy ra xung quanh chúng ta. Việc mở rộng kiến thức này không chỉ thỏa mãn sự tò mò của những học sinh khá giỏi, mà còn nuôi dưỡng niềm yêu thích, biến môn Toán học vốn khô khan trở thành một lăng kính thú vị để khám phá thế giới.
Thảo Luận Cùng Chuyên Gia Và Cộng Đồng Học Sinh Toán học
Quá trình tự học chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khoảnh khắc bế tắc khi bạn đọc kỹ lời giải bài Giải bài 61 trang 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều mà vẫn chưa thực sự "sáng tỏ" một bước lập luận nào đó. Đừng lo lắng! Tính năng bình luận (Comment) phía dưới bài viết được thiết kế chính là để phục vụ cho nhu cầu hỏi đáp (Q&A) này. Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi, chỉ rõ chỗ bạn chưa hiểu, đội ngũ cộng tác viên chuyên môn môn Toán học lớp 11 của website sẽ nhanh chóng vào giải đáp và gỡ rối cho bạn. Đồng thời, nếu bạn có một cách giải khác (Alternative Solution) ngắn gọn hơn, sáng tạo hơn cách giải mà chúng tôi cung cấp, hãy tự hào chia sẻ nó lên phần bình luận. Việc cùng nhau thảo luận, tranh biện một vấn đề học thuật không chỉ giúp cộng đồng phát triển mạnh mẽ mà còn là minh chứng rõ nét nhất cho tinh thần hiếu học của thế hệ trẻ Việt Nam.