Giải bài tập 11 trang 80 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và sẽ hạ cánh ở vị trí \(B\left( {3,5;5,5;0} \right)\) trên đường băng EG (Hình 37).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy)) có nằm trong phạm vi cho phép từ \(2,{5^o}\) đến \(3,{5^o}\) hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm M(5; 0; 0), N(0; -5; 0), P(0; 0; 0,5). Tìm tọa độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m.

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E(3,5; 6,5; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {3,5; - 2;0,4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;7,5; - 0,4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3,5\\y = - 2 + 7,5t\\z = 0,4 - 0,4t\end{array} \right.\) (t là tham số).

b) Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

Do đó, \(\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0.0 + 7,5.0 + \left( { - 0,4} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 7,5} \right)}^2} + {{\left( { - 0,4} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{4\sqrt {5641} }}{{5641}}\) nên \(\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx {3^o}\). Do đó, góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng (MNP).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 5; - 5;0} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 5;0;0,5} \right)\)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\\0&{0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 5}\\{0,5}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&{ - 5}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)\)

Mặt phẳng (MNP) nhận \(\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 2,5;2,5; - 25} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là:

\( - 2,5\left( {x - 5} \right) + 2,5\left( {y - 0} \right) - 25\left( {z - 0} \right) \Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0\)

Vì C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mấy để hạ cánh nên C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Vì C thuộc AB nên \(C\left( {3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t} \right)\). Mà C thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên:

\(3,5 - \left( { - 2 + 7,5t} \right) + 10\left( {0,4 - 0,4t} \right) - 5 = 0\), suy ra \(t = \frac{9}{{23}}\). Do đó, \(C\left( {\frac{7}{2};\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)\).

d) Vì D thuộc AB nên \(D\left( {3,5; - 2 + 7,5t';0,4 - 0,4t'} \right)\)

D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120m, tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 120m và bằng 0,12km.

Ta có: \(d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0,4 - 0,4t'} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| {0,4 - 0,4t'} \right|\)

Do đó, \(\left| {0,4 - 0,4t'} \right| = 0,12 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0,4 - 0,4t' = 0,12\\0,4 - 0,4t' = - 0,12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 0,7\\t' = 1,3\end{array} \right.\)

Với \(t' = 0,7\) ta có \(D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)\).

Với \(t' = 1,3\) ta có \(D\left( {3,5;7,75; - 0,12} \right)\).

Vì D là vị trí độ cao của máy bay nên \(D\left( {3,5;3,25;0,12} \right)\).

e) Ta có: \(DE = \sqrt {{{\left( {3,5 - 3,5} \right)}^2} + {{\left( {4,5 - 3,25} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0,12} \right)}^2}} \approx 1,256\left( {km} \right)\)

Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là \(900m = 0,9km < 1,256km\) nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.