Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tổng quan nội dung
Hướng Dẫn Giải: Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức (Môn Toán học Lớp 12)
Bạn đang theo dõi phần hướng dẫn giải chi tiết và chuyên sâu dành riêng cho bài học Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Đây là một nội dung học tập quan trọng nằm trong chương trình môn Toán học của học sinh lớp 12, được trích xuất từ bộ SGK chuẩn . Trong bài học này, chúng tôi không chỉ cung cấp đáp án chính xác cho các câu hỏi phần lý thuyết, mà còn giải mã cặn kẽ từng bài tập tự luận và trắc nghiệm nằm ở cuối bài. Mỗi bước biến đổi công thức, mỗi luận điểm đưa ra đều được đội ngũ giáo viên phân tích rõ ràng, giúp học sinh nắm bắt được phương pháp tư duy và áp dụng thành thạo cho các dạng bài kiểm tra tương tự. Hãy cùng chuẩn bị vở nháp và theo dõi sát sao từng bước giải dưới đây để củng cố vững chắc kiến thức của bạn nhé.
Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 3;0;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của \(\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 2} \right)\).
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\).
a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?
b) \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = a\left( {bc' - b'c} \right) + b\left( {ca' - c'a} \right) + c\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = abc' - ab'c + cba' - abc' + ab'c - a'bc = \left( {abc' - abc'} \right) - \left( {ab'c - ab'c} \right) + \left( {cba' - cba'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = a'\left( {bc' - b'c} \right) + b'\left( {ca' - c'a} \right) + c'\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = a'bc' - a'b'c + cb'a' - ab'c' + ab'c' - a'bc'\)
\( = \left( {a'bc' - a'bc'} \right) - \left( {a'b'c - a'b'c} \right) + \left( {ab'c' - ab'c'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).
Suy ra, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\left( I \right)\)
+ Với \(a = 0,b = 0,c = 0\) thì (I) luôn đúng. Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
+ Với \(a \ne 0,b \ne 0,c \ne 0\), từ (I) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{b'}}{b} = \frac{{a'}}{a}\end{array} \right.\), do đó, \(a' = ka,b' = kb,c' = kc\;\;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6;2} \right)\). Tính \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;1\\6\;\;2\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;2\\2\;\;4\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}2\;\;3\\4\;\;6\end{array} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nếu hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương.
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có giá vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nên giá của vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1; - 2;1} \right),B\left( { - 2;1;0} \right),C\left( { - 2;3;2} \right)\). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;\; - 1\\\;5\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\;\; - 3\\\;\;1\;\; - 3\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 3\;\;3\\ - 3\;\;5\end{array} \right|} \right) = \left( {8;6; - 6} \right)\)
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến \(\overrightarrow n \), giá của vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương gì? (H.5.1)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ để tìm phương của \(\overrightarrow n \): Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow F \) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\).
a) Cho \(\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)\), Tính \(\overrightarrow M \).
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow M = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {OP'} = \left( {2x;2y;2z} \right)\). Khi đó, moment lực là: \(\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]\)
Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow {M'} = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right) = 2\overrightarrow M \)
Vậy khi giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.
Từ đó, ta rút ra kết luận là nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P cách con ốc ở vị trí O càng lớn thì càng đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc.
- HĐ1
- LT1
- HĐ2
- LT2
- HĐ3
- LT3
- VD1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến \(\overrightarrow n \), giá của vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương gì? (H.5.1)
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về giá của vectơ để tìm phương của \(\overrightarrow n \): Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( { - 3;0;1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của \(\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 2} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a,b,c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\).
a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) hay không?
b) \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) có mối quan hệ gì?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của 2 vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y';z'} \right)\) được xác định bởi công thức: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = xx' + yy' + zz'\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = a\left( {bc' - b'c} \right) + b\left( {ca' - c'a} \right) + c\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = abc' - ab'c + cba' - abc' + ab'c - a'bc = \left( {abc' - abc'} \right) - \left( {ab'c - ab'c} \right) + \left( {cba' - cba'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = a'\left( {bc' - b'c} \right) + b'\left( {ca' - c'a} \right) + c'\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = a'bc' - a'b'c + cb'a' - ab'c' + ab'c' - a'bc'\)
\( = \left( {a'bc' - a'bc'} \right) - \left( {a'b'c - a'b'c} \right) + \left( {ab'c' - ab'c'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).
Suy ra, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\left( I \right)\)
+ Với \(a = 0,b = 0,c = 0\) thì (I) luôn đúng. Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
+ Với \(a \ne 0,b \ne 0,c \ne 0\), từ (I) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{b'}}{b} = \frac{{a'}}{a}\end{array} \right.\), do đó, \(a' = ka,b' = kb,c' = kc\;\;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {4;6;2} \right)\). Tính \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;1\\6\;\;2\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;2\\2\;\;4\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}2\;\;3\\4\;\;6\end{array} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nếu hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương.
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có giá vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nên giá của vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1; - 2;1} \right),B\left( { - 2;1;0} \right),C\left( { - 2;3;2} \right)\). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, nếu \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;\; - 1\\\;5\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\;\; - 3\\\;\;1\;\; - 3\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 3\;\;3\\ - 3\;\;5\end{array} \right|} \right) = \left( {8;6; - 6} \right)\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 31 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow F \) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow M \) được tính bởi công thức \(\overrightarrow M = \left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right]\).
a) Cho \(\overrightarrow {OP} = \left( {x;y;z} \right),\overrightarrow F = \left( {a;b;c} \right)\), Tính \(\overrightarrow M \).
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {a';b';c'} \right)\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow n = \left( {bc' - b'c;ca' - c'a;ab' - a'b} \right)\) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow M = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {OP'} = \left( {2x;2y;2z} \right)\). Khi đó, moment lực là: \(\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]\)
Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow {M'} = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right) = 2\overrightarrow M \)
Vậy khi giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.
Từ đó, ta rút ra kết luận là nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P cách con ốc ở vị trí O càng lớn thì càng đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc.
Trọng Tâm Kiến Thức Cần Nắm Trong Bài Học Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bài học Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức mang đến những khái niệm mới có tính bản lề, đóng vai trò kết nối kiến thức của chương trước và mở ra tư duy cho những bài học tiếp theo trong môn Toán học. Đối với học sinh lớp 12, việc vượt qua những rào cản nhận thức ban đầu là vô cùng quan trọng. Trước khi bắt tay vào giải bài tập phần "Vận dụng", học sinh cần phải thực sự hiểu rõ và ghi nhớ các định nghĩa, định lý hay các quy luật xã hội đã được trình bày trong sách . Đội ngũ biên soạn của chúng tôi đã cẩn thận tổng hợp lại những điểm mù kiến thức mà học sinh thường hay nhầm lẫn nhất ở phần đầu của lời giải. Bằng cách ôn tập lại lý thuyết thông qua phần tóm tắt này, bạn sẽ xây dựng được một nền móng vững chãi, từ đó việc giải quyết các câu hỏi thực hành phức tạp phía sau sẽ trở nên nhẹ nhàng và logic hơn rất nhiều.
Phân Tích Chuyên Sâu Từng Bước Giải Bài Tập (Step-by-step Solution)
Sự khác biệt lớn nhất của một bài hướng dẫn giải chuẩn mực so với một cuốn sách bài giải thông thường trên thị trường chính là tính tương tác và độ chi tiết. Đối với các câu hỏi trong bài Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, chúng tôi áp dụng mô hình phân tích 3 bước (3-Step Analysis) vô cùng chặt chẽ:
- Bước 1 - Khai thác giả thiết: Phân tích đề bài xem đề bài đã cho chúng ta những dữ kiện định lượng/định tính nào. Việc tóm tắt đề bài một cách khoa học giúp loại bỏ các thông tin nhiễu không cần thiết.
- Bước 2 - Lựa chọn công cụ giải (Phương pháp): Dựa vào đặc điểm của môn Toán học lớp 12, chúng tôi sẽ chỉ ra rõ tại sao lại sử dụng công thức này mà không dùng công thức khác, hay tại sao lại phải phân tích vấn đề theo hướng này.
- Bước 3 - Triển khai và Biện luận kết quả: Trình bày chi tiết từng dòng tính toán, từng câu lập luận để đi đến kết quả cuối cùng. Đặc biệt, chúng tôi luôn có phần kiểm tra lại (check) để chắc chắn kết quả tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Gợi Ý Các Mẹo Giải Nhanh Và Mở Rộng Kiến Thức Thực Tiễn
Sau khi đã nắm vững phương pháp giải bài bản, tự luận, học sinh cần được rèn luyện thêm các kỹ năng xử lý tình huống nhanh để phục vụ cho các bài thi trắc nghiệm khách quan. Trong phần mở rộng của bài Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức, chúng tôi thường xuyên cung cấp các "mẹo" (tips) hoặc công thức tính nhẩm nhanh, hướng dẫn bấm máy tính cầm tay (Casio) cực kỳ hữu ích. Hơn nữa, vì bộ sách luôn đề cao triết lý "mang cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống", các giáo viên của chúng tôi sẽ cố gắng liên hệ kết quả của bài toán, bài văn với những hiện tượng thực tiễn xảy ra xung quanh chúng ta. Việc mở rộng kiến thức này không chỉ thỏa mãn sự tò mò của những học sinh khá giỏi, mà còn nuôi dưỡng niềm yêu thích, biến môn Toán học vốn khô khan trở thành một lăng kính thú vị để khám phá thế giới.
Thảo Luận Cùng Chuyên Gia Và Cộng Đồng Học Sinh Toán học
Quá trình tự học chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khoảnh khắc bế tắc khi bạn đọc kỹ lời giải bài Giải mục 1 trang 29,30,31 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức mà vẫn chưa thực sự "sáng tỏ" một bước lập luận nào đó. Đừng lo lắng! Tính năng bình luận (Comment) phía dưới bài viết được thiết kế chính là để phục vụ cho nhu cầu hỏi đáp (Q&A) này. Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi, chỉ rõ chỗ bạn chưa hiểu, đội ngũ cộng tác viên chuyên môn môn Toán học lớp 12 của website sẽ nhanh chóng vào giải đáp và gỡ rối cho bạn. Đồng thời, nếu bạn có một cách giải khác (Alternative Solution) ngắn gọn hơn, sáng tạo hơn cách giải mà chúng tôi cung cấp, hãy tự hào chia sẻ nó lên phần bình luận. Việc cùng nhau thảo luận, tranh biện một vấn đề học thuật không chỉ giúp cộng đồng phát triển mạnh mẽ mà còn là minh chứng rõ nét nhất cho tinh thần hiếu học của thế hệ trẻ Việt Nam.