Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tổng quan nội dung
Hướng Dẫn Giải: Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức (Môn Toán học Lớp 12)
Bạn đang theo dõi phần hướng dẫn giải chi tiết và chuyên sâu dành riêng cho bài học Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Đây là một nội dung học tập quan trọng nằm trong chương trình môn Toán học của học sinh lớp 12, được trích xuất từ bộ SGK chuẩn . Trong bài học này, chúng tôi không chỉ cung cấp đáp án chính xác cho các câu hỏi phần lý thuyết, mà còn giải mã cặn kẽ từng bài tập tự luận và trắc nghiệm nằm ở cuối bài. Mỗi bước biến đổi công thức, mỗi luận điểm đưa ra đều được đội ngũ giáo viên phân tích rõ ràng, giúp học sinh nắm bắt được phương pháp tư duy và áp dụng thành thạo cho các dạng bài kiểm tra tương tự. Hãy cùng chuẩn bị vở nháp và theo dõi sát sao từng bước giải dưới đây để củng cố vững chắc kiến thức của bạn nhé.
Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \) là \(\left( {1;2;5} \right)\).
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) và \(N\left( {x';y';z'} \right)\).
a) Hãy biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) qua các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow k \).
b) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \), \(\overrightarrow {ON} = x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k } \right) - \left( {x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k } \right)\)
\( = \left( {x' - x} \right).\overrightarrow i + \left( {y' - y} \right).\overrightarrow j + \left( {z' - z} \right).\overrightarrow k \)
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y;z' - z} \right)\).
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải thích: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) Sử dụng kiến thức về hệ tọa độ trong không gian để giải thích: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Lời giải chi tiết:
a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
b) Vì \(\overrightarrow i \) là vectơ đơn vị trên trục Ox nên \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow i \) với x là số thực.
Vì \(\overrightarrow j \) là vectơ đơn vị trên trục Oy nên \(\overrightarrow {OB} = y\overrightarrow j \) với y là số thực.
Vì \(\overrightarrow k \) là vectơ đơn vị trên trục Oz nên \(\overrightarrow {OC} = z\overrightarrow k \) với z là số thực.
Do đó, \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C’.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ các điểm: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho
Lời giải chi tiết:
Theo Ví dụ 3 ta có: \(m = 2,n = 3,p = 5\).
Vì ABB’O là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OA} = n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \). Do đó, B(0; 3; 5)
Vì OB’C’D’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {OD'} + \overrightarrow {OB'} = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Do đó, C’(2; 3; 0)
Vì ADD’A’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD'} = m\overrightarrow i + p\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow k \). Do đó, D(2; 0; 5)
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ điểm N: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Do đó, N(2; 5; 4).
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D’ sao cho ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi tọa độ của điểm D là (x; y; z), tọa độ của D’ là \(\left( {x';y';z'} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 1;y;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D'} \left( {x - 5;y;z - 1} \right)\).
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì ABCD là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\y = - 5\\z - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 5\\z = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 5;6} \right)\)
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì A’B’C’D’ là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {B'C'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 4\\y = - 5\\z - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = - 5\\z = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(D'\left( {9; - 5;5} \right)\)
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để giải thích: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Do đó, có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng lên trên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
\(890.\frac{1}{2} = 445\left( {km} \right)\)
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là (0; 445; 0).
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tính huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn với hệ tọa độ đó.
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn cách sàn nhà là 2m, cách hai bức tường lần lượt là 1m và 1,5m.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ bóng đèn: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:
+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó, bóng đèn có tọa độ (1,5; 1; 2).
- HĐ2
- LT2
- LT3
- VD1
- HĐ3
- LT4
- HĐ4
- LT5
- VD2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho một điểm M không thuộc các mặt phẳng tọa độ. Vẽ hình hộp chữ nhật OADB.CFME có ba đỉnh A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz (H.2.37).
a) Hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) có bằng nhau hay không?
b) Giải thích vì sao có thể viết \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Phương pháp giải:
a) Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải thích: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) Sử dụng kiến thức về hệ tọa độ trong không gian để giải thích: Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz (hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz). Điểm O được gọi là gốc tọa độ, các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau và được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.
Lời giải chi tiết:
a) Vì OADB.CFME là hình hộp chữ nhật nên theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \)
b) Vì \(\overrightarrow i \) là vectơ đơn vị trên trục Ox nên \(\overrightarrow {OA} = x\overrightarrow i \) với x là số thực.
Vì \(\overrightarrow j \) là vectơ đơn vị trên trục Oy nên \(\overrightarrow {OB} = y\overrightarrow j \) với y là số thực.
Vì \(\overrightarrow k \) là vectơ đơn vị trên trục Oz nên \(\overrightarrow {OC} = z\overrightarrow k \) với z là số thực.
Do đó, \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) với x, y, z là các số thực.
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Tìm tọa độ của điểm N trong Hình 2.39.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ điểm N: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {ON} = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Do đó, N(2; 5; 4).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 3, hãy xác định tọa độ của các điểm B, D và C’.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ các điểm: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho
Lời giải chi tiết:
Theo Ví dụ 3 ta có: \(m = 2,n = 3,p = 5\).
Vì ABB’O là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OA} = n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = 3\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \). Do đó, B(0; 3; 5)
Vì OB’C’D’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {OD'} + \overrightarrow {OB'} = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \). Do đó, C’(2; 3; 0)
Vì ADD’A’ là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD'} = m\overrightarrow i + p\overrightarrow k = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow k \). Do đó, D(2; 0; 5)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tính huống mở đầu, hãy chọn một hệ tọa độ phù hợp và xác định tọa độ của chiếc bóng đèn với hệ tọa độ đó.
Trong Hình 2.34, một chiếc bóng đèn cách sàn nhà là 2m, cách hai bức tường lần lượt là 1m và 1,5m.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để xác định tọa độ bóng đèn: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Mô tả: Hệ tọa độ Oxyz có:
+ Mặt phẳng (Oxy) là sàn nhà, hai mặt phẳng (Oyz), (Ozx) hai bức tường. Khi đó, ba mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau.
+ Gốc tọa độ O (trùng với một góc phòng) là giao điểm của ba trục Ox, Oy, Oz.
Khi đó, bóng đèn có tọa độ (1,5; 1; 2).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 62SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý (H.2.41). Lấy điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) và giải thích vì sao có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để giải thích: Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(M = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(M\left( {x;y;z} \right)\), trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của M.
Lời giải chi tiết:
Theo khái niệm tọa độ trong không gian ta có: \(\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Mà \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \). Do đó, có bộ ba số (x; y; z) sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, hãy xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k \) là \(\left( {1;2;5} \right)\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 63SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right)\) và \(N\left( {x';y';z'} \right)\).
a) Hãy biểu diễn hai vectơ \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) qua các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow k \).
b) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
a) Ta có: \(\overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \), \(\overrightarrow {ON} = x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \left( {x'.\overrightarrow i + y'.\overrightarrow j + z'.\overrightarrow k } \right) - \left( {x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k } \right)\)
\( = \left( {x' - x} \right).\overrightarrow i + \left( {y' - y} \right).\overrightarrow j + \left( {z' - z} \right).\overrightarrow k \)
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y;z' - z} \right)\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong Ví dụ 5, xác định tọa độ của các điểm D và D’ sao cho ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Gọi tọa độ của điểm D là (x; y; z), tọa độ của D’ là \(\left( {x';y';z'} \right)\), khi đó \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 1;y;z - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D'} \left( {x - 5;y;z - 1} \right)\).
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì ABCD là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\y = - 5\\z - 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 5\\z = 6\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 5;6} \right)\)
Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì A’B’C’D’ là hình bình hành.
Do đó, \(\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {B'C'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 4\\y = - 5\\z - 1 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = - 5\\z = 5\end{array} \right.\). Suy ra \(D'\left( {9; - 5;5} \right)\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng lên trên trời (H.2.43). Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890km/h trong nửa giờ. Xác định tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo kilômét.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a \) tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho \(\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j + z\overrightarrow k \) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) hoặc \(\overrightarrow a \left( {x;y;z} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:
\(890.\frac{1}{2} = 445\left( {km} \right)\)
Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên tọa độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ tọa độ đã chọn là (0; 445; 0).
Trọng Tâm Kiến Thức Cần Nắm Trong Bài Học Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Bài học Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức mang đến những khái niệm mới có tính bản lề, đóng vai trò kết nối kiến thức của chương trước và mở ra tư duy cho những bài học tiếp theo trong môn Toán học. Đối với học sinh lớp 12, việc vượt qua những rào cản nhận thức ban đầu là vô cùng quan trọng. Trước khi bắt tay vào giải bài tập phần "Vận dụng", học sinh cần phải thực sự hiểu rõ và ghi nhớ các định nghĩa, định lý hay các quy luật xã hội đã được trình bày trong sách . Đội ngũ biên soạn của chúng tôi đã cẩn thận tổng hợp lại những điểm mù kiến thức mà học sinh thường hay nhầm lẫn nhất ở phần đầu của lời giải. Bằng cách ôn tập lại lý thuyết thông qua phần tóm tắt này, bạn sẽ xây dựng được một nền móng vững chãi, từ đó việc giải quyết các câu hỏi thực hành phức tạp phía sau sẽ trở nên nhẹ nhàng và logic hơn rất nhiều.
Phân Tích Chuyên Sâu Từng Bước Giải Bài Tập (Step-by-step Solution)
Sự khác biệt lớn nhất của một bài hướng dẫn giải chuẩn mực so với một cuốn sách bài giải thông thường trên thị trường chính là tính tương tác và độ chi tiết. Đối với các câu hỏi trong bài Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức, chúng tôi áp dụng mô hình phân tích 3 bước (3-Step Analysis) vô cùng chặt chẽ:
- Bước 1 - Khai thác giả thiết: Phân tích đề bài xem đề bài đã cho chúng ta những dữ kiện định lượng/định tính nào. Việc tóm tắt đề bài một cách khoa học giúp loại bỏ các thông tin nhiễu không cần thiết.
- Bước 2 - Lựa chọn công cụ giải (Phương pháp): Dựa vào đặc điểm của môn Toán học lớp 12, chúng tôi sẽ chỉ ra rõ tại sao lại sử dụng công thức này mà không dùng công thức khác, hay tại sao lại phải phân tích vấn đề theo hướng này.
- Bước 3 - Triển khai và Biện luận kết quả: Trình bày chi tiết từng dòng tính toán, từng câu lập luận để đi đến kết quả cuối cùng. Đặc biệt, chúng tôi luôn có phần kiểm tra lại (check) để chắc chắn kết quả tìm được thỏa mãn điều kiện bài toán.
Gợi Ý Các Mẹo Giải Nhanh Và Mở Rộng Kiến Thức Thực Tiễn
Sau khi đã nắm vững phương pháp giải bài bản, tự luận, học sinh cần được rèn luyện thêm các kỹ năng xử lý tình huống nhanh để phục vụ cho các bài thi trắc nghiệm khách quan. Trong phần mở rộng của bài Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức, chúng tôi thường xuyên cung cấp các "mẹo" (tips) hoặc công thức tính nhẩm nhanh, hướng dẫn bấm máy tính cầm tay (Casio) cực kỳ hữu ích. Hơn nữa, vì bộ sách luôn đề cao triết lý "mang cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống", các giáo viên của chúng tôi sẽ cố gắng liên hệ kết quả của bài toán, bài văn với những hiện tượng thực tiễn xảy ra xung quanh chúng ta. Việc mở rộng kiến thức này không chỉ thỏa mãn sự tò mò của những học sinh khá giỏi, mà còn nuôi dưỡng niềm yêu thích, biến môn Toán học vốn khô khan trở thành một lăng kính thú vị để khám phá thế giới.
Thảo Luận Cùng Chuyên Gia Và Cộng Đồng Học Sinh Toán học
Quá trình tự học chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khoảnh khắc bế tắc khi bạn đọc kỹ lời giải bài Giải mục 2 trang 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức mà vẫn chưa thực sự "sáng tỏ" một bước lập luận nào đó. Đừng lo lắng! Tính năng bình luận (Comment) phía dưới bài viết được thiết kế chính là để phục vụ cho nhu cầu hỏi đáp (Q&A) này. Hãy mạnh dạn đặt câu hỏi, chỉ rõ chỗ bạn chưa hiểu, đội ngũ cộng tác viên chuyên môn môn Toán học lớp 12 của website sẽ nhanh chóng vào giải đáp và gỡ rối cho bạn. Đồng thời, nếu bạn có một cách giải khác (Alternative Solution) ngắn gọn hơn, sáng tạo hơn cách giải mà chúng tôi cung cấp, hãy tự hào chia sẻ nó lên phần bình luận. Việc cùng nhau thảo luận, tranh biện một vấn đề học thuật không chỉ giúp cộng đồng phát triển mạnh mẽ mà còn là minh chứng rõ nét nhất cho tinh thần hiếu học của thế hệ trẻ Việt Nam.